Bài tập 26, § 1

Người ta nói rằng một không gian định chuẩn thực $E$ là trơn nếu mọi điểm của mặt cầu đơn vị trong $E$ đều là các điểm trơn (II, p. 93, Bài tập 6) của quả cầu đơn vị. Để điều này xảy ra, điều kiện cần và đủ là tồn tại duy nhất một ánh xạ $f$ từ $E - \{0\}$ vào $E' - \{0\}$, thuần nhất dương, sao cho $\|f(x)\| = 1$ với $\|x\| = 1$, và $\langle x, f(x) \rangle = \|x\| \cdot \|f(x)\|$. Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: α) $E$ là trơn. β) Với mọi $x \neq 0$ trong $E$ và mọi $y \in E$, tồn tại duy nhất một vô hướng $\alpha$ sao cho $\alpha x + y$ là gần vuông góc với $x$.

γ) Với mọi $x \in E$, nếu $y$ và $z$ là gần vuông góc với $x$, thì $y + z$ là gần vuông góc với $x$. (Để thấy rằng γ) suy ra β), nhận xét rằng nếu $\alpha x + y$ và $\beta x + y$ là gần vuông góc với $x$, thì $(\alpha - \beta) x$ là gần vuông góc với $x$.)