Exercice 28, § 1

Soient $E$ un espace normé, $E'$ son dual. a) Montrer que si $E'$ est lisse (V, p. 65, exerc. 26), $E$ est strictement convexe (si $x, y$ sont tels que $x \neq y$, $\|x\| = \|y\| = \|\frac{1}{2}(x + y)\| = 1$, considérer un $x' \in E'$ tel que l’on ait $\|x'\| = 1$ et $\langle \frac{1}{2}(x + y), x' \rangle = 1$). b) Montrer que si $E'$ est strictement convexe, $E$ est lisse.