Exercice 3, § 1

Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie n, f une forme bilinéaire symétrique positive et séparante sur E, et $B_f$ l’ensemble convexe borné défini par la relation $f(x, x) \leq 1$. Si $a = (a_1, ..., a_n)$ est une base de E et $\Delta$ le discriminant de f par rapport à cette base, on appelle volume de $B_f$ par rapport à a le nombre $v_a(f) = \gamma_n |\Delta|^{-1/2}$, où $\gamma_n = \pi^{n/2}/\Gamma\left( \frac{n}{2} + 1 \right)$. Si $b = (b_1, ..., b_n)$ est une seconde base de E, et si $a_1 \wedge a_2 \wedge ... \wedge a_n = \delta b_1 \wedge b_2 \wedge ... \wedge b_n$, on a $v_b(f) = |\delta| v_a(f)$. a) Montrer que, si f et g sont deux formes bilinéaires symétriques positives séparantes telles que $B_f \subset B_g$ (ce qui équivaut à $g \leq f$), on a $v_a(f) \leq v_a(g)$ (considérer une base de E orthogonale à la fois pour f et pour g). b) Soit A un ensemble convexe compact, symétrique dans E, dont 0 est point intérieur. Montrer que parmi toutes les formes bilinéaires symétriques positives séparantes f sur E telles que $A \subset B_f$, il en existe une et une seule pour laquelle le volume de $B_f$ (par rapport à une base donnée de E) soit le plus petit possible. (Pour montrer l’unicité, remarquer que si A est contenu dans $B_f$ et $B_g$, il l’est dans $B_{(f+g)/2}$ et que l’on a $v_a((f+g)/2) \leq \frac{1}{2}(v_a(f)+v_a(g))$ pour toute base $a$ de E qui est orthogonale à la fois pour $f$ et $g$.) c) Soit A un ensemble convexe compact, symétrique dans E, dont 0 est point intérieur, et soit $f$ la forme bilinéaire symétrique positive séparante telle que $A \subset B_f$ et que $B_f$ ait le plus petit volume possible par rapport à une base donnée de E. Montrer qu’il existe dans E des points $x_1, \ldots, x_n, u_1, \ldots, u_n$ ayant les propriétés suivantes : α) Pour tout $k$, on a $x_k \in A$ et $f(x_k, x_k) = 1$. β) La suite $(u_1, \ldots, u_n)$ est une base de E orthonormale pour $f$. γ) Si l’on pose $x_k = \sum_{j=1}^n a_{kj} u_j$ pour $1 \leq k \leq n$, on a $a_{kj} = 0$ pour $k < j$ et $a_{kk}^2 \geq (n - k + 1)/n$. (Raisonner par récurrence sur $k$. Supposant construits $x_1, \ldots, x_k, u_1, \ldots, u_k$, noter $P_k$ l’orthoprojecteur (pour $f$) de E sur le sous-espace engendré par $u_1, \ldots, u_k$; pour tout $\varepsilon > 0$, considérer la forme bilinéaire $f_\varepsilon$ définie par

et prouver à l’aide de b) que l’on a $A \notin B_{f_\varepsilon}$. Choisir pour tout entier $p \geq 1$ un point $y_p$ de A n’appartenant pas à $B_{f_{1/p}}$; prendre pour $x_{k+1}$ une valeur d’adhérence de la suite $(y_p)$ telle que l’on ait $k f(x_{k+1} - P_k x_{k+1}, x_{k+1} - P_k x_{k+1}) \geq (n - k) f(P_k x_{k+1}, P_k x_{k+1})$; choisir ensuite $u_{k+1}$.) d) Prouver les analogues de b) et c) pour les formes bilinéaires symétriques positives séparantes telles que $B_f \subset A$ et pour lesquelles le volume de $B_f$ (par rapport à une base donnée de E) est le plus grand possible.