Bài tập 3, § 1

Cho E là một không gian vectơ thực hữu hạn chiều có chiều $n$, $f$ là một dạng song tuyến tính đối xứng dương và tách trên E, và $B_f$ là tập lồi bị chặn được xác định bởi quan hệ $f(x, x) \leq 1$. Nếu $a = (a_1, ..., a_n)$ là một cơ sở của E và $\Delta$ là biệt thức của $f$ đối với cơ sở này, ta gọi thể tích của $B_f$ đối với $a$ là số $v_a(f) = \gamma_n |\Delta|^{-1/2}$, trong đó $\gamma_n = \pi^{n/2}/\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)$. Nếu $b = (b_1, ..., b_n)$ là một cơ sở thứ hai của E, và nếu

ta có $v_b(f) = |\delta| v_a(f)$. a) Chứng minh rằng, nếu $f$ và $g$ là hai dạng song tuyến tính đối xứng dương, tách sao cho $B_f \subset B_g$ (điều này tương đương với $g \leq f$), thì $v_a(f) \leq v_a(g)$ (xét một cơ sở của E trực giao đối với cả $f$ lẫn $g$). b) Cho A là một tập lồi compact đối xứng trong E, với 0 là một điểm trong. Chứng minh rằng trong tất cả các dạng song tuyến tính đối xứng dương, tách $f$ trên E sao cho $A \subset B_f$, tồn tại duy nhất một dạng mà thể tích của $B_f$ (đối với cơ sở đã cho của E) là nhỏ nhất có thể. (Để chứng minh tính duy nhất, nhận xét rằng nếu A được chứa trong $B_f$ và $B_g$, thì nó được chứa trong $B_{(f+g)/2}$ và ta có $v_a((f+g)/2) \leq \frac{1}{2}(v_a(f) + v_a(g))$ đối với mọi cơ sở $a$ của E trực giao đối với cả $f$ và $g$.) c) Cho A là một tập lồi compact đối xứng trong E, với 0 là một điểm trong, và cho $f$ là dạng song tuyến tính đối xứng dương, tách sao cho $A \subset B_f$ và $B_f$ có thể tích nhỏ nhất có thể đối với một cơ sở đã cho của E. Chứng minh rằng tồn tại các điểm $x_1, ..., x_n, u_1, ..., u_n$ trong E có các tính chất sau : α) Với mọi $k$, ta có $x_k \in A$ và $f(x_k, x_k) = 1$. β) Dãy $(u_1, ..., u_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của E đối với $f$. γ) Nếu đặt $x_k = \sum_{j=1}^n a_{kj} u_j$ với $1 \leq k \leq n$, ta có $a_{kj} = 0$ với $k < j$ và $a_{kk}^2 \geq (n - k + 1)/n$. (Lập luận bằng quy nạp theo $k$. Giả sử $x_1, ..., x_k, u_1, ..., u_k$ đã được xây dựng, gọi $P_k$ là phép chiếu trực giao (đối với $f$) từ E lên không gian con sinh bởi $u_1, ..., u_k$; với mọi $\varepsilon > 0$, xét dạng song tuyến tính $f_\varepsilon$ được xác định bởi và chứng minh rằng $A \not\subset B_{f_\varepsilon}$, sử dụng b). Với mọi số nguyên $p \geq 1$ chọn một điểm $y_p$ trong A không thuộc $B_{f_{1/p}}$; lấy làm $x_{k+1}$ một điểm giới hạn của dãy $(y_p)$ sao cho sau đó chọn $u_{k+1}$.) d) Chứng minh các tương tự của b) và c) đối với các dạng song tuyến tính đối xứng dương tách sao cho $B_f \subset A$ và đối với chúng thể tích của $B_f$ (đối với một cơ sở đã cho của E) là lớn nhất có thể.