Exercice 30, § 1

Soient $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual fort, $E''$ le dual fort de $E'$, $E'''$ le dual fort de $E''$, $E^{IV}$ le dual fort de $E'''$. a) On suppose $E$ non réflexif ; il existe alors $x' \in E'$ tel que $\|x'\| = 1$, mais que pour aucun $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$, on n’aît $\langle x, x' \rangle = 1$ (IV, p. 57, exerc. 25). D’autre part, il existe une suite $(x'_n)$ de points de $E'$ telle que $\|x'_n\| = 1$, tendant fortement vers $x'$, et une suite $(x_n)$ de points de $E$ telle que $\|x_n\| = 1$ et $\langle x_n, x'_n \rangle = 1$ pour tout $n$ (II, p. 82, exerc. 4). Montrer que dans $E''$, la suite $(x_n)$ n’est convergente vers aucun point pour la topologie $\sigma(E'', E''')$ (remarquer que dans le cas contraire elle convergerait vers un point $x \in E$ et montrer qu’on aurait $\langle x, x' \rangle = 1$). b) Montrer qu’il n’est pas possible que $x'$ et $x'_n$ soient des points de lissité de la sphère unité dans $E'''$ (remarquer que $x_n$, considéré comme élément de $E^{IV}$, serait l’unique élément $x_n^{IV} \in E^{IV}$ tel que $\|x_n^{IV}\| = 1$ et $\langle x'_n, x_n^{IV} \rangle = 1$, et utiliser l’exerc. 29). c) Conclure que si $E'''$ est lisse, ou si $E^{IV}$ est strictement convexe, $E$ est nécessairement réflexif.