Bài tập 30, § 1

Cho $E$ là một không gian Banach, $E'$ là đối ngẫu mạnh của $E$, $E''$ là đối ngẫu mạnh của $E'$, $E'''$ là đối ngẫu mạnh của $E''$, $E^{IV}$ là đối ngẫu mạnh của $E'''$. a) Giả sử rằng $E$ không phản xạ; khi đó tồn tại $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, nhưng không có $x \in E$ nào sao cho $\|x\| = 1$ và $\langle x, x' \rangle = 1$ (IV, p. 57, Bài tập 25). Mặt khác, tồn tại một dãy $(x'_n)$ các điểm của $E'$ sao cho $\|x'_n\| = 1$, hội tụ mạnh đến $x'$, và một dãy $(x_n)$ các điểm của $E$ sao cho $\|x_n\| = 1$ và $\langle x_n, x'_n \rangle = 1$ với mọi $n$ (II, p. 82, Bài tập 4). Bây giờ chứng minh rằng trong $E''$, dãy $(x_n)$ không hội tụ đến điểm nào đối với tôpô $\sigma(E'', E''')$ (nhận xét rằng nếu không thì nó sẽ hội tụ đến một điểm $x \in E$ và chứng minh rằng ta sẽ có $\langle x, x' \rangle = 1$). b) Bây giờ chứng minh rằng không thể xảy ra việc $x'$ và $x'_n$ là các điểm trơn của mặt cầu đơn vị trong $E'''$ (nhận xét rằng $x_n$, được xem như một phần tử của $E^{IV}$, sẽ là phần tử duy nhất $x_n^{IV} \in E^{IV}$ sao cho $\|x_n^{IV}\| = 1$ và $\langle x'_n, x_n^{IV} \rangle = 1$, và sử dụng Bài tập 29). c) Kết luận rằng nếu $E'''$ là trơn, hoặc nếu $E^{IV}$ là lồi nghiêm ngặt, thì $E$ nhất thiết là phản xạ.