Exercice 31, § 1

On dit qu’un espace normé $E$ (réel ou complexe) est uniformément convexe si, pour tout $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < 2$, il existe $\delta > 0$ tel que les relations $\|x\| \leqslant 1, \|y\| \leqslant 1, \|x - y\| \geqslant \varepsilon$ dans $E$ impliquent $\|\frac{1}{2}(x + y)\| \leqslant 1 - \delta$. Un espace uniformément convexe est strictement convexe (V, p. 66, exerc. 27). On dit que $E$ est uniformément lisse si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que les relations $\|x\| \geqslant 1, \|y\| \geqslant 1, \|x - y\| \leqslant \eta$ entraînent l’inégalité $\|x + y\| \geqslant \|x\| + \|y\| - \varepsilon \|x - y\|$. Il revient au même de dire que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\rho > 0$ tel que les relations $\|x\| = 1, \|y\| \leqslant \rho$ entraînent l’inégalité

Un espace uniformément lisse est lisse (V, p. 65, exerc. 26). a) Montrer que si $E$ est uniformément convexe, son dual fort $E'$ est uniformément lisse, et que si $E$ est uniformément lisse, $E'$ est uniformément convexe ; la restriction à la sphère unité $S$ de E de l’unique application support (V, p. 66, exerc. 29) est alors une application de S dans la sphère unité S’ de E’, continue pour les topologies de E et E’ déduites de la norme. b) Montrer que si E est uniformément convexe, et si un filtre $\mathfrak{F}$ sur E converge vers $x_0$ pour la topologie $\sigma(E, E')$ et est tel que $\lim_{\mathfrak{F}} \|x\| = \|x_0\|$, $\mathfrak{F}$ converge vers $x_0$ pour la topologie initiale de E. c) Montrer qu’un espace de Banach qui est uniformément convexe ou uniformément lisse est réflexif (utiliser b) et c), ainsi que IV, p. 61, exerc. 12). (Cf. V, p. 71, exerc. 14.) d) Généraliser aux espaces de Banach uniformément convexes la première partie du th. 1 de V, p. 10, ainsi que les cor. 1 et 2 de V, p. 11.