Bài tập 31, § 1

Người ta nói rằng một không gian chuẩn $E$ (thực hoặc phức) là lồi đều nếu, với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < 2$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho các quan hệ $\|x\| \leqslant 1, \|y\| \leqslant 1, \|x - y\| \geqslant \varepsilon$ trong $E$ kéo theo $\|\frac{1}{2}(x + y)\| \leqslant 1 - \delta$. Một không gian lồi đều là lồi chặt (V, p. 66, Bài tập 27). Người ta nói rằng $E$ là trơn đều nếu, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\eta > 0$ sao cho các quan hệ $\|x\| \geqslant 1, \|y\| \geqslant 1, \|x - y\| \leqslant \eta$ kéo theo bất đẳng thức $\|x + y\| \geqslant \|x\| + \|y\| - \varepsilon \|x - y\|$. Điều đó tương đương với việc nói rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\rho > 0$ sao cho các quan hệ $\|x\| = 1, \|y\| \leqslant \rho$ kéo theo bất đẳng thức

Một không gian trơn đều là trơn (V, p. 65, Bài tập 26). a) Bây giờ chứng minh rằng nếu $E$ là lồi đều, đối ngẫu mạnh $E'$ của nó là trơn đều, và nếu $E$ là trơn đều, thì $E'$ là lồi đều; hạn chế trên mặt cầu đơn vị $S$ của E của ánh xạ duy nhất tựa đỡ (V, p. 66, Bài tập 29) khi đó là một ánh xạ từ S vào mặt cầu đơn vị S’ của E’, liên tục đối với các tôpô của E và E’ suy ra từ chuẩn. b) Bây giờ chứng minh rằng nếu E là lồi đều, và nếu một lọc $\mathfrak{F}$ trên E hội tụ đến $x_0$ đối với tôpô $\sigma(E, E')$ và có tính chất $\lim_{\mathfrak{F}} \|x\| = \|x_0\|$, thì $\mathfrak{F}$ hội tụ đến $x_0$ đối với tôpô ban đầu của E. c) Bây giờ chứng minh rằng một không gian Banach lồi đều hoặc trơn đều là phản xạ (sử dụng b) và c), cũng như IV, p. 61, Bài tập 12). (Xem V, p. 71, Bài tập 14.) d) Tổng quát hóa cho các không gian Banach lồi đều phần đầu của Định lý 1 của V, p. 10, cũng như Hệ quả 1 và 2 của V, p. 11.