Exercice 36, § 1

Les notations sont celles de l’exerc. 35.

a) Soient $a$ un vecteur de norme 1 dans $E$, $K_\varepsilon$ l’ensemble des $x \in S$ tels que $|\langle x|a \rangle| \leqslant \sin \varepsilon$ et $L_\varepsilon$ l’ensemble des $x \in S$ tels que $d(x, S_a) \geqslant \varepsilon$ (où $S_a$ est l’ensemble des points de $S$ orthogonaux à $a$). Montrer que pour $\varepsilon > 0$ assez petit, on a $m(K_\varepsilon) \geqslant 4e^{-n\varepsilon^2/2}$ et $m(L_\varepsilon) \leqslant 4e^{-n\varepsilon^2/2}$ (on pourra remarquer que l’image de la mesure $m$ par l’application $x \mapsto \langle x|a \rangle$ de $S$ dans l’intervalle $(-1, 1)$ de $\mathbf{R}$ est de la forme $c_n(1 - t^2)^{(n-3)/2} dt$ avec une constante $c_n > 0$ convenable).

b) Soient $f$ une application continue de $S$ dans $\mathbf{R}$ et $M(f)$ un nombre réel tel que l’ensemble des $x \in S$ tels que $f(x) \leqslant M(f)$ (resp. $f(x) \geqslant M(f)$) soit de mesure $\geqslant \frac{1}{2}$ pour $m$. Soit $B$ l’ensemble des $x \in S$ tels que $f(x) = M(f)$. Déduire de a) que, pour tout $\varepsilon > 0$ assez petit, l’ensemble des $x \in S$ tels que $d(x, B) \geqslant \varepsilon$ a une mesure pour $m$ au plus égale à $4e^{-n\varepsilon^2/2}$.

c) Pour tout $\varepsilon > 0$, soit $h(n, \varepsilon)$ le plus petit entier $h \geqslant 1$ pour lequel il existe des points $x_1, \ldots, x_h$ de $S$ tels que $S = \bigcup_{i=1}^h B(x_i, \varepsilon)$. Montrer que l’on a $\lim_{\varepsilon \to 0} (\log h(n, \varepsilon))/|\log \varepsilon| = n$.

d) Rappelons que $E$ est un espace hilbertien réel de dimension $n$. Soient $k$ un entier positif et $\varepsilon, \varepsilon'$ deux nombres strictement positifs tels que $4h(k, \varepsilon) < e^{n\varepsilon'/2}$. Soit $f$ une application de $S$ dans $\mathbf{R}$ telle que $|f(x) - f(y)| \leqslant \|x - y\|$ pour $x, y$ dans $S$, et $M(f)$ un nombre réel satisfaisant à la relation énoncée dans b). Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $F$ de $E$, de dimension $k$, satisfaisant à la condition suivante : pour tout $x \in F \cap S$, il existe un point $y$ de $F \cap S$ tel que $\|x - y\| < \varepsilon$ et $|f(y) - M(f)| \leqslant \varepsilon'$.