Bài tập 36, § 1

Các ký hiệu như trong Bài tập 35. a) Cho $a$ là một vectơ có chuẩn 1 trong E, $K_\varepsilon$ là tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $|\langle x|a \rangle| \leq \sin \varepsilon$ và $L_\varepsilon$ là tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $d(x, S_a) \geq \varepsilon$ (trong đó $S_a$ là tập hợp tất cả các điểm của S trực giao với $a$). Chứng minh rằng với $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, ta có $m(K_\varepsilon) \geq 4e^{-n\varepsilon^2/2}$ và $m(L_\varepsilon) \leq 4e^{-n\varepsilon^2/2}$ (ta nhận xét rằng ảnh của độ đo $m$ qua ánh xạ $x \mapsto \langle x|a \rangle$ từ S vào khoảng $(-1, 1)$ của $\mathbf{R}$ có dạng $c_n(1 - t^2)^{(n-3)/2}dt$ với một hằng thích hợp $c_n > 0$. b) Cho $f$ là một ánh xạ liên tục từ S vào $\mathbf{R}$ và $M(f)$ là một số thực sao cho tập hợp tất cả các $x \in S$ mà $f(x) \leq M(f)$ (tương ứng $f(x) \geq M(f)$) có độ đo $\geq \frac{1}{2}$ đối với $m$. Gọi B là tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $f(x) = M(f)$. Suy ra từ a) rằng, với mọi $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $d(x, B) \geq \varepsilon$, có một độ đo đối với $m$ nhỏ hơn hoặc bằng $4e^{-n\varepsilon^2/2}$. c) Với mọi $\varepsilon > 0$, gọi $h(n, \varepsilon)$ là số nguyên nhỏ nhất $h \geq 1$ sao cho tồn tại các điểm $x_1, ..., x_h$ trong S thỏa mãn $S = \bigcup_{i=1}^h B(x_i, \varepsilon)$, chứng minh rằng $\lim_{\varepsilon \to 0} (\log h(n, \varepsilon))/|\log \varepsilon| = n$. d) Nhắc lại rằng E là một không gian hilbert thực có chiều $n$. Cho k là một số nguyên dương và $\varepsilon, \varepsilon'$ là hai số dương ngặt sao cho $4h(k, \varepsilon) < e^{n\varepsilon'/2}$. Cho $f$ là một ánh xạ từ S vào $\mathbf{R}$ sao cho $|f(x) - f(y)| \leq \|x - y\|$ với mọi $x, y$ trong S, và $M(f)$ là một số thực thỏa mãn quan hệ đã nêu trong b). Chứng minh rằng tồn tại một không gian con vectơ F của E, có chiều k, thỏa mãn điều kiện sau: với mọi $x \in F \cap S$, tồn tại một điểm $y$ trong $F \cap S$ sao cho $\|x - y\| < \varepsilon$ và $|f(y) - M(f)| \leq \varepsilon'$.