Exercice 37, § 1

Soit $E$ un espace hilbertien réel de dimension finie $n$ et soit $\gamma$ la mesure positive sur $E$ telle que $\int_E e^{i\langle x|y \rangle} d\gamma(y) = \exp(-\pi \|x\|^2/2)$ pour tout $x \in E$ (INT, IX, § 6, n° 5). Soit $m$ l’unique mesure positive de norme 1 sur la sphère unité $S$ de $E$ qui est invariante par le groupe des automorphismes de $E$.

a) Soit $p$ une fonction continue sur $E$, satisfaisant à $p(t.x) = t.p(x)$ pour $x \in S$ et $t$ réel positif. Montrer que l’on a $\int_E pd\gamma = c_n \int_S pdm$ avec $c_n = \pi^{1/2} \Gamma(n/2)/\Gamma((n+1)/2)$.

b) Montrer qu’il existe une constante $C > 0$, indépendante de $n$, telle que l’on ait

pour toute base orthonormale $(e_1, ..., e_n)$ de $E$.

c) Soient $\varepsilon > 0$ et $k$ un entier positif. Déduire de b) et des exercices 12 (V, p. 62) et 36, $d$) que si $n$ est assez grand, il existe, pour tout espace normé réel $V$ de dimension $n$, un sous-espace vectoriel $W$ de $V$, de dimension $k$, satisfaisant à la propriété suivante : il existe un espace hilbertien réel $W_1$, de dimension $k$, et une application linéaire bijective $u$ de $W$ sur $W_1$ telle que $\sup(\|u\|, \|u^{-1}\|) \leq 1 + \varepsilon$.