Bài tập 37, § 1

Cho E là một không gian Hilbert thực có chiều $n$ và $\gamma$ là một độ đo dương trên E sao cho $\int_E e^{i\langle x|y \rangle} d\gamma(y) = \exp(-\pi \|x\|^2/2)$ với mọi $x \in E$ (INT, IX, § 6, No. 5). Cho $m$ là độ đo dương duy nhất có chuẩn 1 trên mặt cầu đơn vị S của E bất biến đối với nhóm các tự đẳng cấu của E. a) Cho $p$ là một hàm liên tục trên E, thỏa mãn $p(t.x) = t.p(x)$ với mọi $x \in S$ và mọi $t$ dương thực. Chứng minh rằng $\int_E pd\gamma = c_n \int_S pdm$ với $c_n = \pi^{1/2} \Gamma(n/2)/\Gamma((n+1)/2)$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một hằng $C > 0$, độc lập với $n$, sao cho

với mọi cơ sở trực chuẩn $(e_1, ..., e_n)$ của $E$.

c) Cho $\varepsilon > 0$ và cho $k$ là một số nguyên dương. Suy ra từ b) và các bài tập 12 (V, p. 63) và 36, d) rằng nếu $n$ đủ lớn, thì đối với mọi không gian định chuẩn thực $V$ có chiều $n$, tồn tại một không gian con vectơ $W$ của $V$, có chiều $k$, thỏa mãn tính chất sau: tồn tại một không gian Hilbert thực $W_1$, có chiều $k$, và một ánh xạ tuyến tính song ánh $u$ từ $W$ lên $W_1$ sao cho $\sup (\|u\|, \|u^{-1}\|) \leq 1 + \varepsilon$.