Exercice 4, § 1

a) Soit E un espace normé réel ou complexe, de dimension $\geq 2$, ayant la propriété suivante : la relation $\|x\| = \|y\|$ entraîne l’inégalité

Montrer que la norme sur E est préhilbertienne. (Se ramener au cas où E est réel et de dimension 2, au moyen des exerc. 1 et 2 de V, p. 59. Dans ce cas, soit A la boule unité de E, et soit $f$ la forme bilinéaire symétrique positive séparante telle que $A \subset B_f$ et que le volume de $B_f$ par rapport à une base donnée soit le plus petit possible. Soient $x_1, x_2$ les deux points construits dans l’exerc. 3, c). Montrer que les points d’intersection du cercle $f(z, z) = 1$ et des bissectrices des deux vecteurs $x_1, x_2$ appartiennent aussi à A, et en conclure, par itération, que $A = B_f$.) b) Soit E un espace normé réel ou complexe, de dimension $\geq 2$, ayant la propriété suivante : la relation $\|x + y\| = \|x - y\|$ entraîne $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$. Montrer que la norme sur E est préhilbertienne (se ramener à a)). c) Démontrer l’analogue de a) lorsqu’on suppose que la relation $\|x\| = \|y\|$ entraîne l’inégalité (utiliser l’exerc. 3, d)).