Bài tập 4, § 1

a) Cho E là một không gian chuẩn thực hoặc phức, có chiều $\geq 2$, có tính chất sau đây: quan hệ $\|x\| = \|y\|$ kéo theo bất đẳng thức

Chứng minh rằng chuẩn trên E là prehilbert. (Rút gọn về trường hợp E thực và có chiều 2, bằng cách sử dụng Bài tập 1 và 2 của V, p. 60. Trong trường hợp này, cho A là quả cầu đơn vị của E, và cho $f$ là dạng song tuyến tính đối xứng dương, tách biệt sao cho $A \subset B_f$ và sao cho thể tích của $B_f$ đối với một cơ sở đã cho là nhỏ nhất có thể. Cho $x_1, x_2$ là hai điểm được xây dựng trong Bài tập 3, c). Chứng minh rằng các điểm giao của đường tròn $f(z, z) = 1$ và các đường phân giác của hai vectơ $x_1, x_2$ cũng thuộc A, và kết luận, bằng phép lặp, rằng $A = B_f$.) b) Cho E là một không gian chuẩn thực hoặc phức, có chiều $\geq 2$, có tính chất sau đây: quan hệ $\|x + y\| = \|x - y\|$ kéo theo $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$. Chứng minh rằng chuẩn trên E là prehilbert (rút gọn về a)). c) Chứng minh tính tương tự của a) khi giả sử rằng quan hệ $\|x\| = \|y\|$ kéo theo bất đẳng thức (sử dụng Bài tập 3, d)).