Exercice 5, § 1

Soit E un espace vectoriel réel ou complexe, de dimension $\geq 2$. On suppose donnée une application $x \mapsto \|x\|$ de E dans $\mathbf{R}_+$, telle que $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$ pour tout scalaire $\lambda$, que $\|x\| = 0$ entraîne $x = 0$ et que l’on ait l’« inégalité ptolémaïque »

quels que soient $a, b, c, d$ dans E. a) Montrer que $\|x\|$ est une norme sur E (remplacer $d$ par 0 et $b$ par $-a$). b) Montrer que la norme sur E est préhilbertienne. (Déduire de l’inégalité ptolémaïque l’inégalité $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 \geq 4\|x\| \cdot \|y\|$ et utiliser l’exerc. 4, c.). Réciproque (montrer que dans un espace hilbertien, si l’on pose $a' = a/\|a\|^2,\ b' = b/\|b\|^2$, on a l’égalité $\|a' - b'\| = \|a - b\|/\|a\| \cdot \|b\|$). Si $\|a\| = \|b\| = \|c\| = \|d\|$ et si les 4 vecteurs $a, b, c, d$ sont dans un même plan, les deux membres de l’inégalité ptolémaïque sont égaux.