Bài tập 5, § 1

Cho E là một không gian vectơ thực hoặc phức, có chiều $\geq 2$. Giả sử một ánh xạ $x \mapsto \|x\|$ từ E vào $\mathbf{R}_+$ được cho, thỏa mãn : $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$ với mọi vô hướng $\lambda$, rằng $\|x\| = 0$ kéo theo $x = 0$ và rằng ta có « bất đẳng thức ptolema »

với mọi $a, b, c, d$ trong E. a) Chứng minh rằng $\|x\|$ là một chuẩn trên E (thay $d$ bởi 0 và $b$ bởi $-a$).

b) Chứng minh rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert. (Từ bất đẳng thức ptolema suy ra bất đẳng thức $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 \geq 4 \|x\| \cdot \|y\|$ và dùng Bài tập 4, c.) Chứng minh đảo lại (chứng minh rằng trong một không gian Hilbert, nếu đặt $a' = a/\|a\|^2, b' = b/\|b\|^2$, thì ta có đẳng thức $\|a' - b'\| = \|a - b\|/\|a\| \cdot \|b\|$). Nếu $\|a\| = \|b\| = \|c\| = \|d\|$ và nếu bốn vectơ $a, b, c, d$ nằm trong cùng một mặt phẳng, thì hai vế của bất đẳng thức ptolema bằng nhau.

T 6) a) Cho E là một không gian chuẩn thực hoặc phức, có chiều $\geq 2$. Chứng minh rằng với mọi $x \neq 0$ trong E và mọi số thực $\alpha > 0$, tồn tại một phần tử $y$ trong E sao cho $\|y\| = \alpha$ và $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$. b) Giả sử rằng nếu các vectơ $x, y$ trong E thỏa mãn quan hệ $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$, thì ta cũng có $\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$. Chứng minh rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert. (Dùng a), rút gọn về trường hợp trong Bài tập 4 : hạn chế vào trường hợp E có chiều 2, ta chứng minh rằng nếu $\|x_1\| = \|x_2\| = 1, y = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)$ và nếu $z \in E$ là sao cho $\|y\|^2 + \|z\|^2 = \|y + z\|^2 = 1$, thì $z = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$ hoặc $z = -\frac{1}{2}(x_1 + x_2)$. c) Giả sử rằng, với mọi vectơ $x \neq 0$ trong E, tập hợp H của tất cả các vectơ $y$ thỏa mãn $\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ là ổn định đối với phép cộng. Chứng minh rằng kết luận của b) đúng. (Rút gọn về trường hợp E là thực và có chiều 2. Dùng a) và tính compact của quả cầu đơn vị trong E, chứng minh rằng H là một tập hợp đóng chứa ít nhất hai nửa đường thẳng phân biệt có gốc 0 ; chứng minh rằng hai nửa đường thẳng này là đối nhau bằng cách nhận thấy rằng, nếu không, tập lồi mà chúng sinh ra sẽ được chứa trong H và sẽ chứa hoặc $x$ hoặc $-x$.)

7) Cho E là một không gian chuẩn thực hoặc phức, có chiều $\geq 2$, có tính chất sau đây: tồn tại một số thực $\gamma$ phân biệt với 0 và với $\pm 1$, sao cho quan hệ $\|x + y\| = \|x - y\|$ kéo theo $\|x + \gamma y\| = \|x - \gamma y\|$. a) Chứng minh rằng nếu $\|x + y\| = \|x - y\|$, ánh xạ lồi $\phi : \xi \mapsto \|x + \xi y\|$ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$ không hằng trên bất kỳ khoảng nào. (Lập luận bằng phản chứng; gọi $[\alpha, \beta]$ là khoảng lớn nhất trên đó $\phi$ là hằng, chứng minh rằng tồn tại $\delta > \beta$ đủ gần $\beta$ và sao cho $\phi(\delta) = \phi(\beta)$, bằng cách nhận thấy rằng nếu $\|u + v\| = \|u - v\|$, thì $\|u + \gamma^n v\| = \|u - \gamma^n v\|$ với mọi số nguyên hữu tỉ $n$.) b) Chứng minh rằng nếu $\|x + y\| = \|x - y\|$, thì $\|x + \xi y\| = \|x - \xi y\|$ với mọi số thực $\xi$. (Với các ký hiệu của a), nhận thấy rằng $\phi$ có một cực tiểu tương đối tại điểm $\xi = 0$, sử dụng tính chất $\phi(\gamma^n) = \phi(-\gamma^n)$ với mọi số nguyên hữu tỉ $n$; suy ra rằng ta có $\phi(\xi) = \phi(-\xi)$ một cách đồng nhất, vì nếu không, ta thu được $\phi(\lambda) = \phi(\mu)$ với hai số $\lambda, \mu$ sao cho $\lambda + \mu \neq 0$ và trong trường hợp này $\phi$ có một cực tiểu tương đối tại điểm $\frac{1}{2}(\lambda + \mu)$.) c) Suy ra từ b) rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert (trước hết chứng minh rằng nếu $\|x\| = \|y\|$, ta có $\|\alpha x + \beta y\| = \|\beta x + 2y\|$ với mọi cặp số thực $\alpha, \beta$ và rằng đẳng thức $\|x + y\| = \|x - y\|$ kéo theo $\|\alpha x + \beta y\| = \|\alpha x - \beta y\|$ với mọi cặp số thực $\alpha, \beta$. Tiếp theo, chứng minh rằng nếu $\|x\| = \|y\| = 1$ và $\|x + y\| = \|x - y\|$, ta có quan hệ $\|(\alpha^2 - \beta^2)x + 2\alpha\beta y\| = \alpha^2 + \beta^2$ bằng cách sử dụng các kết quả trước đó, và suy ra kết luận).

8) Cho E là một không gian chuẩn thực hoặc phức, có tính chất sau đây: nếu $x, y, x', y'$ là bốn vectơ trong E sao cho

thì $\|x - y\| = \|x' - y'\|$. Chứng minh rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert (sử dụng bài tập 7).

9) Cho E là một không gian Hilbert thực, $f$ là một dạng tuyến tính liên tục trên E. Chứng minh rằng trên mọi tập con lồi đóng A của E, hàm $x \mapsto \|x\|^2 - f(x)$ bị chặn dưới và đạt cực tiểu của nó tại một điểm duy nhất của A.

10) Cho E là một không gian Hilbert thực, B là một dạng song tuyến tính trên $E \times E$, $c_1, c_2$ là hai số $> 0$ sao cho

Chứng minh rằng với mọi dạng tuyến tính liên tục $f$ trên E, tồn tại một phần tử duy nhất $x_f \in E$ (tương ứng $y_f \in E$) sao cho $f(x) = B(x_f, x)$ (tương ứng $f(x) = B(x, y_f)$) với mọi $x \in E$.

11) Cho E là một không gian Hilbert, và $(x_n)$ là một dãy các điểm của E hội tụ yếu về một điểm $a$. Với mọi $y \in E$, ta đặt

Chứng minh rằng $d(y)^2 = d(a)^2 + \|y - a\|^2$ và $D(y)^2 = D(a)^2 + \|y - a\|^2$. Nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai số thực sao cho $0 \leq \alpha \leq \beta$, hãy cho các ví dụ trong đó $d(a) = \alpha$ và $D(a) = \beta$.

¶ 12) a) Chứng minh rằng tồn tại một số $c_0 > 0$ sao cho, với mọi không gian vectơ chuẩn thực E có chiều $n$ và mọi số nguyên $k \leq c_0 n$, tồn tại một chuẩn Hilbert $x \mapsto \|x\|_2$ trên E sao cho $\|x\|_2 \leq \|x\|$ với mọi $x \in E$, cũng như một hệ trực chuẩn $(x_j)_{1 \leq j \leq k}$ gồm $k$ phần tử của E (đối với cấu trúc Hilbert) có các chuẩn $\|x_j\| \leq 2$. (Dùng bài tập 3 của V, p. 60.) b) Cho $n, m$ là hai số nguyên $> 0$ sao cho $n \leq c_0 m$. Cho E là một không gian vectơ chuẩn thực có chiều $m$. Chứng minh rằng tồn tại một không gian con vectơ F của E, có chiều $n$, một dạng song tuyến tính đối xứng dương và phân ly $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ trên F và một cơ sở trực chuẩn $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$ của F sao cho

(trong đó $\|x\|_2^2 = \langle x|x \rangle$) với mọi $x \in F$. (Áp dụng a) cho đối ngẫu $E'$ của E.)

13) a) Cho $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy vô hạn trong một không gian Banach E. Chứng minh rằng, để họ $(x_n)$ là khả tổng, điều kiện cần và đủ là, với mọi dãy $(\varepsilon_n)$ gồm các số bằng 1 hoặc bằng $-1$, chuỗi có số hạng tổng quát $(\varepsilon_n x_n)$ là hội tụ (dùng GT, III, § 5, bài tập 4). b) Cho $(x_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một dãy hữu hạn các điểm trong một không gian Hilbert E, chứng minh rằng

trong đó $(\varepsilon_j)$ chạy trên tập hợp gồm các dãy $2^n$ số bằng 1 hoặc bằng $-1$ (dùng đẳng thức của trung vị, xem V, p. 9, công thức (14)). c) Suy ra từ b) rằng nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một họ khả tổng trong một không gian Hilbert E, thì họ $(\|x_i\|^2)_{i \in I}$ là khả tổng trong $\mathbf{R}$.

¶ 14) Cho E là một không gian Banach vô hạn chiều. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên N, tồn tại một dãy $(b_j)_{1 \leq j \leq N}$ gồm N vectơ trong E, có chuẩn 1, sao cho, với mọi dãy $(\xi_j)_{1 \leq j \leq N}$ gồm N vô hướng, ta có

(dùng bài tập 12, b)). b) Với mọi dãy $(\lambda_n)_{n \geq 1}$ gồm các số $\geq 0$ sao cho $\sum \lambda_n^2 < +\infty$, chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ gồm các điểm của E sao cho $\|x_n\| = \lambda_n$ với mọi n, và chuỗi $(x_n)$ là khả tổng. (Dùng a) của bài tập 13, a). c) Suy ra từ b) rằng trong mọi không gian Banach vô hạn chiều, tồn tại một chuỗi hội tụ giao hoán, nhưng không hội tụ tuyệt đối (định lý Dvoretzky-Rogers).

15) Cho E là một không gian Hilbert phức, $E_1, E_2$ là hai không gian con vectơ đóng của E, $P_1, P_2$ là các phép chiếu trực giao từ E lên $E_1, E_2$ tương ứng. a) Chứng minh rằng, để $P_1$ và $P_2$ giao hoán, điều kiện cần và đủ là E là tổng Hilbert của bốn không gian con $E_1 \cap E_2, E_1^\circ \cap E_2^\circ, E_1^\circ \cap E_2, E_1 \cap E_2^\circ$ (trong đó $M^\circ$ ký hiệu phần bù trực giao của một không gian con vectơ M của E).

b) Chứng minh rằng nếu E₁ hữu hạn chiều và $\|P_1 - P_2\| < 1$, thì E₂ có cùng chiều với E₁ (xét giao $E_1^\circ \cap E_2$). c) Chứng minh rằng tự đồng cấu $T = (P_1 - P_2)^2$ của E giao hoán với $P_1$ và $P_2$, và rằng không gian con riêng của T tương ứng với trị riêng 0 (tương ứng 1) là tổng trực tiếp của các không gian con trực giao $E_1 \cap E_2$ và $E_1^\circ \cap E_2^\circ$ (tương ứng $E_1^\circ \cap E_2$ và $E_1 \cap E_2^\circ$). d) Giả sử E hữu hạn chiều và $T = \hat{\lambda} I$ với $\hat{\lambda} \neq 0$. Khi đó $\hat{\lambda} > 0$ và E là tổng Hilbert của các không gian con có chiều $\leq 2$, mỗi không gian trong đó ổn định đối với $P_1$ và $P_2$ (nhận xét rằng $P_1 - P_2$ là Hermit và suy ra rằng E là tổng Hilbert của hai không gian con $E^+$, $E^-$ sao cho $P_1.x - P_2.x = \sqrt{\hat{\lambda}} x$ trong $E^+$ và $P_1.x - P_2.x = -\sqrt{\hat{\lambda}} x$ trong $E^-$; sau đó chỉ ra rằng đối với $x \in E^+$, ta có $P_1.x = \frac{1 + \sqrt{\hat{\lambda}}}{2} x + z$ và $P_2.x = \frac{1 - \sqrt{\hat{\lambda}}}{2} x + z$, với $z \in E^-$). e) Giả sử rằng E₁ và E₂ hữu hạn chiều. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$ các không gian con của E có chiều $\leq 2$ sao cho E, E₁ và E₂ lần lượt là các tổng Hilbert của các họ $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$, $(F_\alpha \cap E_1)_{\alpha \in A}$ và $(F_\alpha \cap E_2)_{\alpha \in A}$ (dùng c) để rút gọn về trường hợp E hữu hạn chiều, sau đó áp dụng d)). \

16) Cho E là một không gian Hilbert, và P là một phép chiếu liên tục trên E, nghĩa là một tự đồng cấu liên tục của E sao cho $P^2 = P$. Chứng minh rằng để P là một phép chiếu trực giao, điều kiện cần và đủ là $\|P\| \leq 1$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, xét một vectơ x trực giao với hạt nhân của $I - P$.) Nếu P có hạng hữu hạn, chứng minh rằng tồn tại một không gian con đóng F của E, có đối chiều hữu hạn, chứa $P(E)$ và sao cho hạn chế của P trên F là một phép chiếu trực giao.

17) a) Cho E là một không gian Hilbert thực có chiều 2, $P_1, P_2$ là hai phép chiếu trực giao từ E lên các đường thẳng $D_1, D_2$ tương ứng, giả sử phân biệt. Chứng minh rằng với mọi $x \in E$ sao cho $\|x\| = 1$, ta có $\|(\hat{P}_1 - \hat{P}_2).x\| = \sin \theta$, trong đó $\theta$ là góc giữa $D_1$ và $D_2$ nằm giữa 0 và $\pi/2$, và rằng với mọi $y \neq 0$ trong E, tồn tại $x \neq 0$ sao cho $(P_1 - P_2).x$ thẳng hàng với y. b) Cho E là một không gian Hilbert thực, $P_1, P_2$ là hai phép chiếu trực giao trên E, có các ảnh tương ứng $E_1, E_2$. Chứng minh rằng $\|P_1 - P_2\|$ là cận dưới của các số $\sin \theta$, trong đó $\theta$ là góc, nằm giữa 0 và $\pi/2$, của hai đường thẳng $D_1, D_2$ sao cho $D_1 \subset E_1, D_2 \subset E_2, D_1$ và $D_2$ trực giao với $E_1 \cap E_2$. c) Cho $Q_1, Q_2$ là hai phép chiếu liên tục trên E, có các ảnh $E_1, E_2$, và cho $P_1, P_2$ là các phép chiếu trực giao lên $E_1$ và $E_2$ tương ứng. Chứng minh rằng $\|P_2 - P_1\| \leq \|Q_2 - Q_1\|$. (Nhận xét rằng $(Q_2 - Q_1)P_2 = (I - Q_1)(P_2 - P_1)$ và sử dụng a) và b).)

\* 18) Cho E là một không gian định chuẩn thực có chiều $\geq 3$. Giả sử tồn tại một ánh xạ song ánh giảm $\omega$ từ tập hợp $\mathfrak{M}$ các không gian con vectơ đóng của E lên chính nó, sao cho $\omega(\omega(M)) = M$ và $M \cap \omega(M) = \{0\}$ với mọi $M \in \mathfrak{M}$. a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính $u$ từ E lên đối ngẫu $E'$ của nó được xác định tới một nhân tử vô hướng và sao cho $u(M) = (\omega(M))^\circ$ với mọi $M \in \mathfrak{M}$. (Xét trường hợp M có chiều 1, áp dụng định lý cơ bản của hình học xạ ảnh (A, II, § 9, exerc. 16) bằng cách nhận thấy rằng tự đẳng cấu duy nhất của trường $\mathbf{R}$ là ánh xạ đồng nhất (GT, IV, § 3, exerc. 3). b) Nếu đặt $\langle x|y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$, chứng minh rằng $\langle x|x \rangle \neq 0$ với mọi $x \neq 0$ và các quan hệ $\langle x|y \rangle = 0$ và $\langle y|x \rangle = 0$ là tương đương. Suy ra rằng $\langle y|x \rangle = \langle x|y \rangle$ với mọi cặp điểm $x, y$ của E (xét một số $\lambda \in \mathbf{R}$ sao cho $\langle \lambda x + y|x \rangle = 0$). c) Chứng minh rằng $\langle x|x \rangle$ có cùng dấu trên tập hợp tất cả các $x \neq 0$; thay thế $u$ bởi $-u$ nếu cần, khi đó ta có thể giả sử rằng $\langle x|y \rangle$ là một dạng song tuyến tính dương, tách được và đối xứng trên $E \times E$. d) Gọi $\mathscr{T}_0$ là tôpô ban đầu của E. Chứng minh rằng tôpô $\mathscr{T}$ trên E, được xác định bởi chuẩn $\langle x|x \rangle^{1/2}$, là mịn hơn tôpô $\mathscr{T}_0$ (nhận thấy rằng đối ngẫu của E đối với $\mathscr{T}$ chứa đối ngẫu $E'$ của E đối với $\mathscr{T}_0$). e) Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ liên tục từ E lên đối ngẫu $E'$ của nó, đối với các tôpô $\sigma(E, E')$ và $\sigma(E', E)$. Suy ra rằng nếu E đầy đủ đối với tôpô ban đầu $\mathscr{T}_0$, thì $u$ liên tục đối với $\mathscr{T}_0$ và đối với tôpô mạnh $\beta(E', E)$ (nhận thấy rằng $u$ biến mỗi tập hợp bị chặn đối với $\sigma(E, E')$ thành một tập hợp bị chặn đối với $\sigma(E', E)$). Suy ra rằng khi đó các tôpô $\mathscr{T}$ và $\mathscr{T}_0$ là đồng nhất, và $\omega(M)$ là phần bù trực giao của M đối với cấu trúc không gian Hilbert xác định trên E bởi dạng $\langle x|y \rangle$ (xem I, p. 17, th. 1). f) Chứng minh rằng trong không gian $\ell^1(\mathbf{N})$, với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn của $\ell^\infty(\mathbf{N})$ được gán cho nó, tồn tại một ánh xạ song ánh $M \mapsto \omega(M)$ từ $\mathfrak{M}$ lên chính nó, có các tính chất đã nêu ở trên (IV, p. 47, exerc. 1).

**T 19) Cho $E$ là một không gian chuẩn phức vô hạn chiều. Giả sử tồn tại một ánh xạ song ánh $\omega$ từ tập hợp $\mathfrak{M}$ các không gian con vectơ đóng của $E$ lên chính nó, có các tính chất được liệt kê trong Bài tập 18. a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ nửa tuyến tính $u$ từ $E$ lên đối ngẫu $E'$ của nó (đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$ của $\mathbf{C}$) được xác định sai một nhân tử vô hướng và sao cho $u(M) = (\omega(M))^{\circ}$ với mọi $M \in \mathfrak{M}$. (Tiến hành như trong Bài tập 18; dùng IV, p. 65, Bài tập 16, chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ nửa tuyến tính tương đối với tự đẳng cấu đồng nhất của $\mathbf{C}$ hoặc đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$; cuối cùng chứng minh rằng trường hợp thứ nhất không thể xảy ra vì $\langle x, u(x) \rangle \neq 0$ với $x \neq 0$.) b) Nếu ta đặt $\langle y|x \rangle = \langle x, u(y) \rangle$, chứng minh rằng $\langle x|y \rangle = \langle y|x \rangle$ và rằng $\langle x|x \rangle$ có cùng dấu trên tập hợp tất cả các $x \neq 0$ (cùng phương pháp như trong Bài tập 18). c) Cuối cùng chứng minh rằng tôpô được xác định bởi chuẩn $\langle x|x \rangle^{1/2}$ mịn hơn tôpô ban đầu $\mathscr{T}_0$ trên $E$, và rằng hai tôpô này đồng nhất khi $E$ đầy đủ đối với $\mathscr{T}_0$; trong trường hợp sau, $\omega(M)$ là phần bù trực giao của $M$ trong không gian hilbert $E$.

20) Cho $E$ là một không gian vectơ thực hữu hạn chiều, và $\phi$ là một ánh xạ tuyến tính song ánh từ $E$ lên đối ngẫu $E^*$. Cho $A$ là một tập hợp lồi compact đối xứng trong $E$, với 0 là một điểm trong; giả sử rằng với mọi $x$ trên biên của $A$, siêu phẳng có phương trình $\langle y - x, \phi(x) \rangle = 0$ là một siêu phẳng tựa của $A$. a) Cho $f(x) = |\langle x, \phi(x) \rangle|$, và cho $a$ là một điểm biên của $A$ tại đó $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng với mọi điểm $b$ sao cho $\langle b, \phi(a) \rangle = 0$, ta cũng có $\langle a, \phi(b) \rangle = 0$. (Nhận xét rằng $\langle x, \phi(x) \rangle \neq 0$ với $x \neq 0$, và do đó ta có thể giả sử rằng $f(x) = \langle x, \phi(x) \rangle \geq 0$; dùng sự kiện rằng mọi siêu phẳng tựa của $A$ tại điểm $a$ cũng là một siêu phẳng tựa của tập hợp được xác định bởi $f(x) \leq f(a)$.) b) Chứng minh rằng $(x, y) \mapsto \langle x, \phi(y) \rangle$ là một dạng song tuyến tính đối xứng, và rằng $A$ đồng nhất với tập hợp tất cả các điểm $x$ sao cho $f(x) \leq \gamma$ với một hằng thích hợp $\gamma$. (Lập luận bằng quy nạp theo chiều của $E$; với các ký hiệu của a), xét siêu phẳng có phương trình $\langle x, \phi(a) \rangle = 0$.)

Cho $E$ là một không gian vectơ phức hữu hạn chiều, và cho $\phi$ là một ánh xạ nửa tuyến tính song ánh (đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$ của $\mathbf{C}$) từ $E$ lên không gian đối ngẫu $E^*$. Cho $\|x\|$ là một chuẩn trên $E$ sao cho, với mọi $x \in E$, ta có $|\langle x, \phi(x) \rangle| = \|x\| \cdot \|\phi(x)\|$. Chứng minh rằng $(y, x) \mapsto \langle x, \phi(y) \rangle$ là, sai khác một nhân tử hằng, một dạng Hermit dương tách biệt và rằng $\langle x, \phi(x) \rangle = \gamma \|x\|^2$ ($\gamma$ hằng). (Lập luận như trong Bài tập 20.)

**T 22) Cho $E$ là một không gian định chuẩn thực có chiều $\geq 3$, sao cho, với mọi mặt phẳng thuần nhất $P$ trong $E$, tồn tại một phép chiếu liên tục từ $E$ lên $P$, có chuẩn 1. Chứng minh rằng chuẩn trên $E$ là tiền Hilbert. Với sự trợ giúp của V, p. 60, exerc. 2, rút gọn về trường hợp $E$ có chiều 3, và lần lượt thiết lập các mệnh đề sau. a) Với mọi mặt phẳng thuần nhất $P$ trong $E$, tồn tại một phép chiếu liên tục duy nhất từ $E$ lên $P$, có chuẩn 1, và hạt nhân của phép chiếu này là một đường thẳng thuần nhất $D(P)$ sao cho $P \mapsto D(P)$ là một song ánh liên tục từ không gian các mặt phẳng thuần nhất của $E$ vào không gian các đường thẳng thuần nhất của $E$ (GT, VI, § 3, No. 5). b) Mọi điểm của mặt cầu $D : \|x\| = 1$ trong $E$ đều là điểm cực biên trong quả cầu $B$ của $E$ được xác định bởi $\|x\| \leq 1$. (Trước hết chứng minh rằng nếu $x \in S$ không là cực biên, thì tiết diện $F_x$ của nó trong $B$ (II, p. 87, exerc. 3) sẽ có chiều 2, bằng cách xét tất cả các mặt phẳng thuần nhất $\tilde{P}$ đi qua $x$, sau đó chứng minh rằng giả thiết này là mâu thuẫn, bằng cách tiến hành tương tự tại một điểm trong $F_x$ nơi chỉ tồn tại một đường thẳng tựa của $F_x$ trong mặt phẳng sinh bởi $F_x$; sự tồn tại của một điểm như vậy có thể được thiết lập bằng cách sử dụng II, p. 88, exerc. 7 và p. 88, exerc. 8). c) Mọi điểm của mặt cầu $S'$ có phương trình $\|x'\| = 1$ trong đối ngẫu $E'$ của $E$ đều là cực biên trong quả cầu $B'$ của $E'$ được xác định bởi $\|x'\| \leq 1$. (Trước hết nhận xét rằng với mọi đường thẳng thuần nhất $D'$ của $E'$, tồn tại một mặt phẳng thuần nhất duy nhất $P'(D')$ trong $E'$ sao cho với mọi điểm trong $S' \cap P'(D')$, mặt phẳng tựa của B' tại điểm này (duy nhất theo $a$) song song với D'; hơn nữa, ánh xạ $D' \mapsto P'(D')$ là liên tục. Suy ra rằng nếu $x' \in S'$ không là một điểm cực biên trong B', thì tiết diện $F_{x'}$ của nó trong B' sẽ có chiều ít nhất là 2; để làm điều này hãy xét tất cả các đường thẳng thuần nhất D' song song với mặt phẳng tựa của B' tại điểm $x'$. Tiếp theo chứng minh rằng giả thiết này dẫn đến một mâu thuẫn, bằng cách xét một điểm lồi ngặt $y'$ của $F_{x'}$ (II, p. 88, exerc. 8), và đường thẳng thuần nhất duy nhất $D'_0$ song song với đường thẳng tựa của $F_{x'}$ tại điểm $y'$ trong mặt phẳng sinh bởi $F_{x'}$, và chứng minh rằng hàm $D' \mapsto P'(D')$ sẽ không liên tục tại $D' = D'_0$. d) Chứng minh rằng, nếu ba mặt phẳng thuần nhất $P_1, P_2, P_3$ trong E chứa cùng một đường thẳng $\Delta$, thì ba đường thẳng $D(P_1), D(P_2), D(P_3)$ nằm trong cùng một mặt phẳng thuần nhất $\pi(\Delta)$ (xét mặt phẳng tựa duy nhất của B tại một điểm giao của $\Delta$ và S). Áp dụng định lý cơ bản của hình học xạ ảnh (A, II, § 9, exerc. 16) suy ra rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính song ánh $\phi$ từ E' lên E sao cho, với mọi $x' \in E'$, điểm $\phi(x')$ thuộc đường thẳng D(P), trong đó P là mặt phẳng có phương trình $\langle y, x' \rangle = 0$. Chứng minh rằng với mọi điểm $x' \in S'$, mặt phẳng có phương trình $\langle \phi(x'), y' - x' \rangle = 0$ là mặt phẳng tựa của B' tại điểm này, và kết luận bằng cách áp dụng V, p. 65, exerc. 20.

¶ 23) Cho E là một không gian vectơ chuẩn phức có chiều $\geqslant 3$, sao cho với mọi mặt phẳng thuần nhất (phức) P trong E, tồn tại một phép chiếu liên tục từ E lên P có chuẩn 1. Chứng minh rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert. Bằng cách sử dụng V, p. 60, exerc. 2 rút gọn về trường hợp E có chiều 3 trên $\mathbf{C}$, và tiến hành như trong exerc. 22. (Đối với phần b) của chứng minh, xét, với mọi $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, tập lồi $G_{x'}$ gồm mọi $x \in S$ sao cho $\langle x, x' \rangle = 1$, chứng minh rằng nếu $G_{x'}$ không chỉ là 0, thì nó sẽ có chiều ít nhất là 3 trên $\mathbf{R}$; rồi trong đa tạp afin tuyến tính thực sinh bởi $G_{x'}$, xét một điểm biên của $G_{x'}$, tại đó chỉ tồn tại một siêu phẳng tựa (thực) duy nhất của $G_{x'}$. Tương tự, đối với phần c) của chứng minh, xét, với mọi $x \in S$, tập $G'_x$ gồm mọi $x' \in S'$ sao cho $\langle x, x' \rangle = 1$ và chứng minh rằng $G'_x$ thu gọn thành một điểm; để làm điều này, chứng minh rằng, nếu không, đa tạp afin tuyến tính thực sinh bởi $G'_x$ sẽ có chiều ít nhất là 2 trên $\mathbf{R}$, và sẽ chứa hai vectơ độc lập tuyến tính trên $\mathbf{C}$. Kết luận bằng cách sử dụng V, p. 65, exerc. 21.)

¶ 24) Trong một không gian chuẩn thực E có chiều $\geqslant 3$, ta nói rằng một vectơ $y$ là gần vuông góc với một vectơ $x$, nếu với mọi vô hướng $\lambda$, ta có $\|x + \lambda y\| \geqslant \|x\|$. a) Chứng minh rằng, nếu quan hệ « $y$ là gần vuông góc với $x$ » là đối xứng theo $x, y$, thì chuẩn trên E là tiền Hilbert (chứng minh rằng điều kiện của V, p. 65, exerc. 22 được thỏa mãn). b) Chứng minh rằng cùng kết luận đó vẫn đúng, nếu với mọi siêu phẳng thuần nhất đóng H trong E, tồn tại một vectơ $\neq 0$ gần vuông góc với mọi vectơ của H. (Cùng phương pháp, áp dụng th. 2 của E, III, § 2, No. 4 cho các phép chiếu liên tục có chuẩn 1 từ các không gian con vectơ chứa P lên một mặt phẳng thuần nhất P, các phép chiếu này có thứ tự tuyến tính theo quan hệ mở rộng.) c) Chứng minh rằng cùng kết luận đó vẫn đúng nếu với mọi vectơ $x \neq 0$ trong E, tồn tại một siêu phẳng đóng H sao cho $x$ gần vuông góc với mọi vectơ của H. (Rút gọn về trường hợp E có chiều 3, và áp dụng V, p. 65, exerc. 22 cho đối ngẫu của E). d) Chứng minh rằng cùng kết luận đó vẫn đúng nếu, khi $z$ gần vuông góc với $x$ và $y$, thì $z$ gần vuông góc với $x + y$ (áp dụng V, p. 65, exerc. 22).

25) a) Cho E là một không gian chuẩn thực và $x' \neq 0$ là một vectơ trong không gian đối ngẫu $E'$ của E. Chứng minh rằng để mọi vectơ $y$ trong siêu phẳng ${x'}^{-1}(0)$ là gần vuông góc với $x$ (exerc. 24), điều kiện cần và đủ là $\langle x, x' \rangle = \|x\| \cdot \|x'\|$. b) Suy ra từ a) rằng với mọi $x \neq 0$ trong E, tồn tại một siêu phẳng thuần nhất đóng H của E sao cho mọi vectơ $y \in H$ là gần vuông góc với $x$. c) Nếu $x, y$ là hai điểm trong E và $x \neq 0$, thì tồn tại một vô hướng $\alpha$ sao cho $\alpha x + y$ là gần vuông góc với $x$.

26) Một không gian chuẩn thực E được gọi là trơn nếu mọi điểm của mặt cầu đơn vị trong E đều là các điểm trơn (II, p. 87, exerc.