Exercice 6, § 1

a) Soit E un espace normé réel ou complexe, de dimension $\geqslant 2$. Montrer que pour tout $x \neq 0$ dans E et tout nombre $\alpha > 0$, il existe un élément $y$ de E tel que $\|y\| = \alpha$ et $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.

b) On suppose que, si les vecteurs $x, y$ de E satisfont à la relation $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$, on a aussi $\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$. Montrer que la norme sur E est préhilbertienne. (En utilisant a), se ramener à l’exerc. 4 : en se bornant au cas où E est de dimension 2, on prouvera que si $\|x_1\| = \|x_2\| = 1, y = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)$ et si $z \in E$ est tel que $\|y\|^2 + \|z\|^2 = \|y + z\|^2 = 1$, on a $z = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$ ou $z = -\frac{1}{2}(x_1 + x_2)$.

c) On suppose que, pour tout vecteur $x \neq 0$ dans E, l’ensemble H des vecteurs $y$ satisfaisant à $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ soit stable pour l’addition. Montrer que la conclusion de b) subsiste. (Se ramener au cas où E est réel et de dimension 2. En utilisant a) et la compacité de la boule unité dans E, montrer que H est un ensemble fermé contenant au moins deux demi-droites distinctes d’origine 0 ; prouver que ces deux demi-droites sont opposées, en remarquant que, dans le cas contraire, l’ensemble convexe qu’elles engendreraient serait contenu dans H et contiendrait $x$ ou $-x$.)