Bài tập 6, § 1

của quả cầu đơn vị. Để điều này xảy ra, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ thuần nhất dương duy nhất $f$ từ $E - \{0\}$ vào $E' - \{0\}$, sao cho $\|f(x)\| = 1$ với $\|x\| = 1$, và $\langle x, f(x) \rangle = \|x\| \cdot \|f(x)\|$. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : $\alpha)$ E là trơn.

β) Với mọi $x \neq 0$ trong E và mọi $y \in E$, tồn tại một vô hướng duy nhất $\alpha$ sao cho $\alpha x + y$ quasi-vuông góc với $x$.

γ) Với mọi $x \in E$, nếu $y$ và $z$ quasi-vuông góc với $x$, thì $y + z$ quasi-vuông góc với $x$. (Để thấy rằng γ) suy ra β), nhận xét rằng nếu $\alpha x + y$ và $\beta x + y$ quasi-vuông góc với $x$, thì $(\alpha - \beta) x$ quasi-vuông góc với $x$.)

27) Một không gian định chuẩn thực E được gọi là lồi ngặt nếu mọi điểm của mặt cầu đơn vị đều là các điểm lồi ngặt (II, p. 87, exerc. 6) của quả cầu đơn vị. Chứng minh rằng, để E lồi ngặt, điều kiện cần và đủ là với mọi $x \neq 0$ trong E và mọi $y \in E$, tồn tại một vô hướng duy nhất $\alpha$ sao cho $x$ quasi-vuông góc với $x + y$. (Nhận xét rằng ánh xạ $t \mapsto \|tx + y\|$ là lồi trong $\mathbf{R}$.)

28) Cho E là một không gian định chuẩn, E' là đối ngẫu của nó. a) Chứng minh rằng nếu E' trơn (V, p. 66, exerc. 26), thì E lồi ngặt (nếu $x$ và $y$ sao cho $x \neq y$, $\|x\| = \|y\| = \|\frac{1}{2}(x + y)\| = 1$, xét một $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$ và

b) Chứng minh rằng nếu E' lồi ngặt, thì E trơn.

¶ 29) Cho E là một không gian định chuẩn, E' là đối ngẫu của nó. Một ánh xạ $f$ từ $E - \{0\}$ vào $E' - \{0\}$ được gọi là một ánh xạ đỡ nếu nó thuần nhất dương, và nếu với mọi $x \in E$ sao cho $\|x\| = 1$, ta có $\|f(x)\| = 1$ và $\langle x, f(x) \rangle = 1$. Để E trơn (V, p. 66, exerc. 26), điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ đỡ duy nhất từ $E - \{0\}$ vào $E' - \{0\}$.

Cho S là mặt cầu đơn vị trong E, S' là mặt cầu đơn vị trong E', và cho $x_0 \in S$. Các điều kiện sau là tương đương : α) $x_0$ là một điểm trơn của quả cầu đơn vị trong E, β) Tồn tại một ánh xạ đỡ $f$ mà hạn chế của nó trên S liên tục tại điểm $x_0$ khi S được gán tôpô chuẩn, và S' tôpô yếu $\sigma(E', E)$. γ) Với mọi $y \in E$, ánh xạ $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ có một đạo hàm tại điểm $t = 0$. (Để thấy rằng α) suy ra β), lập luận bằng reductio ad absurdum, sử dụng tính compact yếu của quả cầu đơn vị trong E'. Để thấy rằng β) suy ra γ), rút gọn về trường hợp E có chiều 2 và sử dụng sự kiện rằng $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ là lồi.) Khi đó mọi ánh xạ đỡ đều liên tục tại điểm $x_0$.

30) Cho E là một không gian Banach, E' là đối ngẫu mạnh của nó, E'' là đối ngẫu mạnh của E', E''' là đối ngẫu mạnh của E'', E^{IV} là đối ngẫu mạnh của E'''. a) Giả sử rằng E không phản xạ; khi đó tồn tại $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, nhưng ta không có $\langle x, x' \rangle = 1$ với bất kỳ $x \in E$ nào thỏa mãn $\|x\| = 1$ (IV, p. 57, Bài tập 25). Mặt khác, tồn tại một dãy $(x'_n)$ các điểm của E' sao cho $\|x'_n\| = 1$, hội tụ mạnh đến $x'$, và một dãy $(x_n)$ các điểm của E sao cho $\|x_n\| = 1$ và $\langle x_n, x'_n \rangle = 1$ với mọi $n$ (II, p. 77, Bài tập 4). Chứng minh rằng trong E'', dãy $(x_n)$ không hội tụ đến bất kỳ điểm nào đối với tôpô $\sigma(E'', E''')$ (nhận xét rằng nếu ngược lại thì nó sẽ hội tụ đến một điểm $x \in E$ mà với điểm đó $\langle x, x' \rangle = 1$). b) Chứng minh rằng không thể có trường hợp $x'$ và $x'_n$ là các điểm trơn của mặt cầu đơn vị trong E''' (nhận xét rằng $x_n$, được xem như một phần tử của $E^{IV}$, sẽ là phần tử duy nhất $x_n^{IV} \in E^{IV}$ sao cho $\|x_n^{IV}\| = 1$ và $\langle x'_n, x_n^{IV} \rangle = 1$ và sử dụng Bài tập 29). c) Kết luận rằng nếu E''' là trơn, hoặc nếu E^{IV} là lồi nghiêm ngặt, thì E nhất thiết là phản xạ.

31) Một không gian chuẩn E (thực hoặc phức) được gọi là lồi đều nếu, với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < 2$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho các hệ thức $\|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1, \|x - y\| \geq \varepsilon$ trong E kéo theo $\|\frac{1}{2}(x + y)\| \leq 1 - \delta$. Một không gian lồi đều là lồi nghiêm ngặt (V, p. 67, Bài tập 27). Ta nói rằng E là trơn đều nếu, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\eta > 0$ sao cho các hệ thức $\|x\| \geq 1, \|y\| \geq 1, \|x - y\| \leq \eta$ kéo theo bất đẳng thức $\|x + y\| \geq \|x\| + \|y\| - \varepsilon \|x - y\|$. Điều này tương đương với: với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\rho > 0$ sao cho các hệ thức $\|x\| = 1, \|y\| \leq \rho$ kéo theo bất đẳng thức

Một không gian trơn đều là trơn (V, p. 66, Bài tập 26).

a) Chứng minh rằng nếu E lồi đều thì đối ngẫu mạnh E' của nó trơn đều, và nếu E trơn đều thì E' lồi đều; hạn chế của ánh xạ đỡ duy nhất (V, p. 67, Bài tập 29) vào mặt cầu đơn vị S của E là một ánh xạ từ S vào mặt cầu đơn vị S' của E', liên tục đối với các tôpô chuẩn của E và E'. b) Chứng minh rằng nếu E lồi đều, và nếu một lọc $\mathfrak{F}$ trên E hội tụ đến $x_0$ đối với tôpô $\sigma(E, E')$ và thỏa mãn $\lim_{\mathfrak{F}} \|x\| = \|x_0\|$, thì $\mathfrak{F}$ hội tụ đến $x_0$ đối với tôpô ban đầu của E. c) Chứng minh rằng một không gian Banach lồi đều hoặc trơn đều là phản xạ (sử dụng b) và c) và cả IV, p. 60, Bài tập 12). (xem V, p. 72, Bài tập 14.) d) Tổng quát hóa phần đầu của Định lý 1 của V, p. 10, và cả Hệ quả 1 và 2 của V, p. 11 cho các không gian Banach lồi đều.

32) Cho E là một không gian chuẩn (thực hoặc phức) có chiều $\geq 2$, sao cho, với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < 2$, các hệ thức $\|x\| = 1,\ \|y\| = 1,\ \|x - y\| \geq \varepsilon$ trong E kéo theo bất đẳng thức $\| \frac{1}{2}(x + y) \| \leq \left( 1 - \frac{\varepsilon^2}{4} \right)^{1/2}$. Chứng minh rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert. (Rút gọn về trường hợp E thực và 2 chiều, rồi lập luận như trong V, p. 61; Bài tập 4, a).)

*33) Cho E là một không gian Banach lồi đều (V, p. 67, exerc. 31). Khi đó tồn tại một số $\theta$ sao cho $\frac{3}{4} \leq \theta < 1$ và sao cho quan hệ $\|x - y\| \geq \frac{1}{2} \sup (\|x\|, \|y\|)$ trong E kéo theo $\| \frac{1}{2}(x + y) \| \leq \theta \sup (\|x\|, \|y\|)$. a) Cho $(x_n)$ là một dãy các điểm của E sao cho $\|x_n\| \leq M$ và sao cho dãy này hội tụ về 0 đối với $\sigma(E, E')$. Chứng minh rằng, nếu với một chỉ số $p,\ \|x_p\| \geq \frac{1}{2} M$, thì tồn tại $q > p$ sao cho $\|x_p - x_q\| > \frac{1}{2} M$, và do đó $\| \frac{1}{2}(x_p + x_q) \| \leq \theta M$ (lập luận bằng phản chứng, bằng cách nhận thấy rằng với mọi $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, ta có $\langle x_p, x' \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle x_p - x_n, x' \rangle$).

Suy ra rằng tồn tại một ánh xạ tăng ngặt $\ell$ từ $\mathbf{N}$ vào chính nó sao cho $\| \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)}) \| \leq M \theta$, và sao cho nếu $x_n^{(1)} = \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)})$, thì dãy $(x_n^{(1)})$ hội tụ về 0 đối với $\sigma(E, E')$ và $\|x_n^{(1)}\| \leq M \theta$ với mọi $n$. b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_{n_k})$ trích xuất từ $(x_n)$ sao cho, nếu đặt $y(k) = x_{n_k}$, ta có tính chất sau: với mọi số nguyên $p > 1$, mọi số nguyên $q < p$ và mọi số nguyên $i$ sao cho $1 \leq i \leq 2^{p-q}$,

(Lặp lại thủ tục của a) bằng cách xây dựng một dãy $(x_n^{(k+1)})$ từ dãy $(x_n^{(k)})$ theo cùng cách mà $(x_n^{(1)})$ được xây dựng từ $(x_n)$; sau đó dùng một « phương pháp chéo hóa » thích hợp.) c) Cho $r$ và $q$ là hai số nguyên $> 1$. Suy ra từ b) rằng nếu $r2^q \leq k \leq (r+1)2^q$, thì (phân tích tổng ở vế trái thành nhiều tập con, bằng cách cho $h$ biến thiên từ 1 đến $2^q$, sau đó từ $(j-1)2^q + 1$ đến $j2^q$ với $2 \leq j \leq r$, rồi từ $r2^q + 1$ đến $k$). d) Chứng minh rằng với mọi dãy bị chặn $(x_n)$ trong E, tồn tại một dãy trích xuất $(x_{n_k})$ sao cho dãy các trung bình $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ hội tụ đối với tôpô ban đầu của E (định lý Banach-Saks-Kakutani). (Dùng tính chất E là phản xạ, rút gọn về trường hợp dãy $(x_n)$ hội tụ về 0 đối với $\sigma(E, E')$, và dùng c) với $q$ và $r$ đủ lớn.)

34) Cho E là một không gian Banach và K là một tập con lồi, bị chặn đóng đối với $\sigma(E, E')$. Giả sử rằng với mọi dãy $(x_n)$ trong K, tồn tại một dãy con $(x_{n_k})$ sao cho dãy các trung bình $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ hội tụ đối với $\sigma(E, E')$. Chứng minh rằng với mọi dạng tuyến tính liên tục $x'$ trên E, tồn tại một phần tử x của K sao cho $\langle x, x' \rangle = \sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$ (áp dụng giả thiết cho một dãy $(x_n)$ các điểm của K sao cho $\langle x_n, x' \rangle$ dần tới $\sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$).

Suy ra rằng nếu E có tính chất của Bài tập 33, d), thì E là một không gian phản xạ (xem IV, p. 57, Bài tập 25).

*35) Gọi E là một không gian Hilbert thực hữu hạn chiều có chiều $n$, S là mặt cầu đơn vị của E và m là độ đo dương duy nhất có chuẩn 1 trên S bất biến đối với nhóm các tự đẳng cấu của E. Xét S như một không gian mêtric trong đó khoảng cách được xác định bởi $d(x, y) = \operatorname{Arc} \cos \langle x|y \rangle$. Với mọi $x \in S$ và $r \geq 0$, ký hiệu $B(x, r)$ là tập hợp tất cả các điểm $y$ trong S sao cho $d(x, y) \leq r$; với mọi tập con A của S và mọi số thực $r \geq 0$, ký hiệu $A_r$ là tập hợp tất cả các điểm $x$ trong S sao cho $d(x, A) \leq r$.

a) Cho hai tập con đóng A và B của S, gọi $\delta(A, B)$ là cận dưới của tập hợp tất cả các số thực $r \geq 0$ sao cho $A \subset B_r$ và $B \subset A_r$. Chứng minh rằng $\delta$ là một khoảng cách trên tập hợp $\mathscr{F}$ tất cả các tập con đóng của S, và $\mathscr{F}$ là một không gian mêtric compact đối với khoảng cách này. Chứng minh rằng ánh xạ $A \mapsto m(A)$ từ $\mathscr{F}$ vào $\mathbf{R}$ là nửa liên tục trên.

b) Cho $x_0$ là một điểm trong S, cho H là siêu phẳng trong E vuông góc với $x_0$, $x_1$ là một điểm trong H và $\gamma$ là cung của đường tròn nối $x_0$ với $-x_0$, đi qua $x_1$, nghĩa là tập hợp tất cả các điểm trong S có dạng $x_0 \sin \theta + x_1 \cos \theta$ với $|\theta| \leq \pi/2$. Với mọi $y \in \gamma$, đặt $H_y = H + y$ và $S_y = S \cap H_y$; gọi $m_y$ là độ đo dương duy nhất có chuẩn 1 trên $S_y$ bất biến đối với nhóm tất cả các tự đẳng cấu của E giữ cố định $x_0$.

Cho A là một tập con đóng của S và $\gamma'$ là tập hợp tất cả các điểm trong $\gamma$ sao cho $A \cap S_{p'}$ là khác rỗng. Với mọi $y \in \gamma'$, tồn tại một số thực duy nhất $r(y)$ sao cho $0 \leq r(y) \leq \pi$ và sao cho $m_y(A \cap S_y) = m_y(B(y, r(y)) \cap S_y)$; gọi $s_\gamma(A)$ là hợp của các tập hợp $B(y, r(y)) \cap S_y$ khi $y$ chạy qua $\gamma'$. Chứng minh rằng $s_\gamma(A)$ là đóng và $m(A) = m(s_\gamma(A))$.

c) Với mọi tập con đóng A của S, cận dưới $r(A)$ của tập hợp tất cả các số thực $r \geq 0$ sao cho tồn tại một $x \in S$ với $A \subset B(x, r)$ được gọi là bán kính của A. Gọi $M(A)$ là tập hợp tất cả các tập con đóng C của S sao cho $m(C) = m(A)$ và $m(C_\varepsilon) \leq m(A_\varepsilon)$ với mọi $\varepsilon > 0$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương đối với mọi cặp (A, B) các tập con đóng của S :

(i) $m(A) = m(B)$ và B có dạng $B(x, r)$ với $x \in S$ và $r \geq 0$; (ii) $B \in M(A)$ và $r(B) \leq r(C)$ đối với mọi tập con C của A thuộc $M(A)$. (Bằng cách lập luận quy nạp theo n, suy ra từ b) rằng $s_\gamma(A)$ thuộc $M(A)$ đối với mọi tập con đóng A của S; nếu $r > 0$ sao cho $A \subset B(x_1, r)$ thì chứng minh rằng mọi điểm của biên của $B(x_1, r)$ trong S thuộc $s_\gamma(A)$ cũng thuộc A.)

\* 36) Các ký hiệu cũng giống như trong Bài tập 35. a) Cho $a$ là một vectơ có chuẩn 1 trong E, $K_\varepsilon$ là tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $|\langle x|a \rangle| \leq \sin \varepsilon$ và $L_\varepsilon$ là tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $d(x, S_a) \geq \varepsilon$ (trong đó $S_a$ là tập hợp tất cả các điểm của S vuông góc với $a$). Chứng minh rằng với $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, ta có $m(K_\varepsilon) \geq 4e^{-n\varepsilon^2/2}$ và $m(L_\varepsilon) \leq 4e^{-n\varepsilon^2/2}$ (ta nhận xét rằng ảnh của độ đo $m$ qua ánh xạ $x \mapsto \langle x|a \rangle$ từ S vào khoảng $(-1, 1)$ của $\mathbf{R}$ có dạng $c_n(1 - t^2)^{(n-3)/2}dt$ với một hằng thích hợp $c_n > 0$. b) Cho $f$ là một ánh xạ liên tục từ S vào $\mathbf{R}$ và $M(f)$ là một số thực sao cho tập hợp tất cả các $x \in S$ mà $f(x) \leq M(f)$ (tương ứng $f(x) \geq M(f)$) có độ đo $\geq \frac{1}{2}$ đối với $m$. Gọi B là tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $f(x) = M(f)$. Suy ra từ a) rằng, với mọi $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, tập hợp tất cả các $x \in S$ sao cho $d(x, B) \geq \varepsilon$ có độ đo đối với $m$ nhỏ hơn hoặc bằng $4e^{-n\varepsilon^2/2}$. c) Với mọi $\varepsilon > 0$, gọi $h(n, \varepsilon)$ là số nguyên nhỏ nhất $h \geq 1$ sao cho tồn tại các điểm $x_1, ..., x_h$ trong S thỏa mãn $S = \bigcup_{i=1}^h B(x_i, \varepsilon)$ chứng minh rằng $\lim_{\varepsilon \to 0} (\log h(n, \varepsilon))/|\log \varepsilon| = n$. d) Nhắc lại rằng E là một không gian hilbert thực có chiều $n$. Cho k là một số nguyên dương và $\varepsilon, \varepsilon'$ là hai số dương ngặt sao cho $4h(k, \varepsilon) < e^{n\varepsilon'/2}$. Cho $f$ là một ánh xạ từ S vào $\mathbf{R}$ sao cho $|f(x) - f(y)| \leq \|x - y\|$ với mọi $x, y$ trong S, và $M(f)$ là một số thực thỏa mãn quan hệ đã nêu trong b). Chứng minh rằng tồn tại một không gian con vectơ F của E, có chiều k, thỏa mãn điều kiện sau: với mọi $x \in F \cap S$, tồn tại một điểm $y$ trong $F \cap S$ sao cho $\|x - y\| < \varepsilon$ và $|f(y) - M(f)| \leq \varepsilon'$.

Cho E là một không gian Hilbert thực có chiều $n$ và cho $\gamma$ là một độ đo dương trên E sao cho $\int_E e^{i\langle x|y \rangle} d\gamma(y) = \exp(-\pi \|x\|^2/2)$ với mọi $x \in E$ (INT, IX, § 6, No. 5). Cho $m$ là độ đo dương duy nhất có chuẩn 1 trên mặt cầu đơn vị S của E bất biến dưới nhóm các tự đẳng cấu của E. a) Cho $p$ là một hàm liên tục trên E, thỏa mãn $p(t.x) = t.p(x)$ với mọi $x \in S$ và mọi $t$ thực dương. Chứng minh rằng $\int_E pd\gamma = c_n \int_S pdm$ với $c_n = \pi^{1/2} \Gamma(n/2)/\Gamma((n+1)/2)$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một hằng $C > 0$, độc lập với $n$, sao cho

với mọi cơ sở trực chuẩn $(e_1, ..., e_n)$ của E.

c) Cho $\varepsilon > 0$ và cho $k$ là một số nguyên dương. Suy ra từ b) và các bài tập 12 (V, p. 63) và 36, d) rằng nếu $n$ đủ lớn, thì đối với mọi không gian định chuẩn thực V có chiều $n$, tồn tại một không gian con vectơ W của V, có chiều $k$, thỏa mãn tính chất sau: tồn tại một không gian Hilbert thực $W_1$, có chiều $k$, và một ánh xạ tuyến tính song ánh $u$ từ $W$ lên $W_1$ sao cho $\sup (\|u\|, \|u^{-1}\|) \leq 1 + \varepsilon$.