Exercice 7, § 1

Soit E un espace normé réel ou complexe, de dimension $\geqslant 2$, ayant la propriété suivante : il existe un nombre réel $\gamma$ distinct de 0 et de $\pm 1$, tel que la relation $\|x + y\| = \|x - y\|$ entraîne $\|x + \gamma y\| = \|x - \gamma y\|$.

a) Montrer que si $\|x + y\| = \|x - y\|$, l’application convexe $\varphi : \xi \mapsto \|x + \xi y\|$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ n’est constante dans aucun intervalle. (Raisonnant par l’absurde, soit $[\alpha, \beta]$ le plus grand intervalle dans lequel $\varphi$ soit constante ; montrer qu’il existe $\delta > \beta$ assez voisin de $\beta$ et tel que $\varphi(\delta) = \varphi(\beta)$, en remarquant que si $\|u + v\| = \|u - v\|$, on a $\|u + \gamma^n v\| = \|u - \gamma^n v\|$ pour tout entier rationnel $n$.)

b) Montrer que si $\|x + y\| = \|x - y\|$, on a $\|x + \xi y\| = \|x - \xi y\|$ pour tout nombre réel $\xi$. (Avec les notations de a), remarquer que $\varphi$ admet un minimum relatif au point $\xi = 0$, en utilisant le fait que $\varphi(\gamma^n) = \varphi(-\gamma^n)$ pour tout entier rationnel $n$; en déduire que l’on a identiquement $\varphi(\xi) = \varphi(-\xi)$ en remarquant que, dans le cas contraire, on aurait $\varphi(\lambda) = \varphi(\mu)$ pour deux nombres $\lambda, \mu$ tels que $\lambda + \mu \neq 0$ et que dans ce cas $\varphi$ admettrait un minimum relatif au point $\frac{1}{2}(\lambda + \mu)$.)

c) Déduire de b) que la norme sur E est préhilbertienne. (Montrer d’abord que si $\|x\| = \|y\|$, on a $\|\alpha x + \beta y\| = \|\beta x + \alpha y\|$ pour tout couple de nombres réels $\alpha, \beta$ et que l’égalité $\|x + y\| = \|x - y\|$ entraîne $\|\alpha x + \beta y\| = \|\alpha x - \beta y\|$ pour tout couple de nombres réels $\alpha, \beta$. Montrer ensuite que, si $\|x\| = \|y\| = 1$ et $\|x + y\| = \|x - y\|$, on a la relation $\|(\alpha^2 - \beta^2)x + 2\alpha\beta y\| = \alpha^2 + \beta^2$ en utilisant les résultats précédents, et en déduire la conclusion.)