Bài tập 7, § 1

Cho E là một không gian chuẩn thực hoặc phức, có chiều $\geq 2$, có tính chất sau: tồn tại một số thực $\gamma$ phân biệt với 0 và với $\pm 1$, sao cho quan hệ $\|x + y\| = \|x - y\|$ kéo theo $\|x + \gamma y\| = \|x - \gamma y\|$. a) Chứng minh rằng nếu $\|x + y\| = \|x - y\|$, thì ánh xạ lồi $\phi : \xi \mapsto \|x + \xi y\|$ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$ không hằng trên bất kỳ khoảng nào. (Lập luận bằng phản chứng; gọi $[\alpha, \beta]$ là khoảng lớn nhất mà trên đó $\phi$ là hằng, chứng minh rằng tồn tại $\delta > \beta$ đủ gần $\beta$ và sao cho $\phi(\delta) = \phi(\beta)$, bằng cách nhận thấy rằng nếu $\|u + v\| = \|u - v\|$, thì $\|u + \gamma^n v\| = \|u - \gamma^n v\|$ với mọi số nguyên hữu tỉ $n$.) b) Chứng minh rằng nếu $\|x + y\| = \|x - y\|$, thì $\|x + \xi y\| = \|x - \xi y\|$ với mọi số thực $\xi$. (Với các ký hiệu của a), nhận thấy rằng $\phi$ có một cực tiểu tương đối tại điểm $\xi = 0$, sử dụng sự kiện $\phi(\gamma^n) = \phi(-\gamma^n)$ với mọi số nguyên hữu tỉ $n$; suy ra rằng ta có $\phi(\xi) = \phi(-\xi)$ đồng nhất, bởi vì nếu không, ta thu được $\phi(\lambda) = \phi(\mu)$ đối với hai số $\lambda, \mu$ sao cho $\lambda + \mu \neq 0$ và trong trường hợp này $\phi$ có một cực tiểu tương đối tại điểm $\frac{1}{2}(\lambda + \mu)$.) c) Suy ra từ b) rằng chuẩn trên E là tiền Hilbert (trước hết chứng minh rằng nếu $\|x\| = \|y\|$, ta có $\|\alpha x + \beta y\| = \|\beta x + 2y\|$ với mọi cặp số thực $\alpha, \beta$ và rằng đẳng thức $\|x + y\| = \|x - y\|$ kéo theo $\|\alpha x + \beta y\| = \|\alpha x - \beta y\|$ với mọi cặp số thực $\alpha, \beta$. Tiếp theo, chứng minh rằng nếu $\|x\| = \|y\| = 1$ và $\|x + y\| = \|x - y\|$, ta có quan hệ $\|(\alpha^2 - \beta^2)x + 2\alpha\beta y\| = \alpha^2 + \beta^2$ bằng cách sử dụng các kết quả trước đó, và suy ra kết luận).