Exercice 1, § 2

Soit $B$ une base orthonormale dans un espace hilbertien $E$ de dimension infinie. a) Montrer que toute partie partout dense de $E$ a un cardinal au moins égal à celui de $B$, et qu’il existe dans $E$ un ensemble partout dense équipotent à $B$. b) Montrer que $\mathrm{Card}(E) = \mathrm{Card}(B^\mathbf{N})$ (utiliser $a$) pour voir que $\mathrm{Card}(E) \leq \mathrm{Card}(B^\mathbf{N})$. c) Montrer que si $\mathrm{Card}(B) \leq \mathrm{Card}(\mathbf{R})$, toute base algébrique de $E$ a un cardinal égal à $\mathrm{Card}(\mathbf{R}) = 2^{|\mathbf{N}|}$ (utiliser II, p. 85, exerc. 24, $c$) ; si au contraire $\mathrm{Card}(B) > \mathrm{Card}(\mathbf{R})$, toute base algébrique de $E$ est équipotente à $B^\mathbf{N}$ (utiliser $b$) et A, II, p. 193, exerc. 3, $d$).