Bài tập 1, § 2

Cho $B$ là một cơ sở trực chuẩn trong một không gian Hilbert vô hạn chiều $E$. a) Chứng minh rằng mọi tập con trù mật khắp nơi trong $E$ có lực lượng ít nhất bằng lực lượng của $B$, và tồn tại một tập hợp trù mật khắp nơi trong $E$ đẳng lực với $B$. b) Chứng minh rằng $\mathrm{Card}(E) = \mathrm{Card}(B^\mathbf{N})$ (để thấy rằng $\mathrm{Card}(E) \leq \mathrm{Card}(B^\mathbf{N})$ hãy sử dụng a)). c) Chứng minh rằng nếu $\mathrm{Card}(B) \leq \mathrm{Card}(\mathbf{R})$, thì lực lượng của mọi cơ sở đại số của $E$ bằng $\mathrm{Card}(\mathbf{R}) = 2^{N_0}$ (sử dụng II, p. 80, exerc. 24, c)); tuy nhiên, nếu $\mathrm{Card}(B) > \mathrm{Card}(\mathbf{R})$, thì mọi cơ sở đại số của $E$ đều đẳng lực với $B^\mathbf{N}$ (sử dụng b) và A, II, § 7, exerc. 3, d)).