Exercice 10, § 2

Soient E un espace hilbertien réel de dimension infinie et de type dénombrable, $(e_n)_{n \geq 1}$ une base orthonormale de E. a) Dans E, soit A l’enveloppe fermée convexe équilibrée de l’ensemble des points $e_n/n$. Montrer que A est compact et qu’il n’existe aucun hyperplan d’appui fermé de A au point 0, mais qu’il existe des droites D passant par 0 et telles que $D \cap A = \{0\}$. b) Soient F la somme hilbertienne $E \oplus \mathbf{R}$, $e_0$ un vecteur formant avec les $e_n$ (pour $n \geq 1$) une base orthonormale de F. Si B est l’enveloppe fermée convexe de $\{e_0\} \cup A$, montrer qu’il existe un segment fermé L de milieu 0 dans F, tel que $L \cap B = \{0\}$, mais qu’il n’existe aucun hyperplan fermé passant par 0 et séparant L et B (bien qu’il existe au point 0 un hyperplan d’appui fermé de B).