Bài tập 10, § 2

Cho E là một không gian Hilbert thực vô hạn chiều thỏa mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm được, và $(e_n)_{n \geq 1}$ là một cơ sở trực chuẩn của E. a) Cho A là bao lồi cân bằng đóng của tập hợp tất cả các điểm $e_n/n$ trong E. Chứng minh rằng A là compact và không tồn tại siêu phẳng tựa đóng nào của A tại điểm 0, nhưng tồn tại các đường thẳng D đi qua 0 sao cho $D \cap A = \{0\}$. b) Cho F là tổng Hilbert $E \oplus \mathbf{R}$, $e_0$ là một vectơ mà cùng với các $e_n$ (với $n \geq 1$) tạo thành một cơ sở trực chuẩn của F. Nếu B là bao lồi đóng của $\{e_0\} \cup A$, chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng đóng L có trung điểm 0 trong F, sao cho $L \cap B = \{0\}$, nhưng không tồn tại siêu phẳng đóng nào đi qua 0 tách L và B (mặc dù tồn tại một siêu phẳng tựa đóng của B tại 0).