Exercice 11, § 2

Soient $E_1, E_2$ deux espaces hilbertiens réels de dimension infinie et de type dénombrable, $E$ la somme hilbertienne $E_1 \oplus E_2$ (qu’on identifie au produit $E_1 \times E_2$). Soit $(e_n)_{n \geq 1}$ une base orthonormale de $E_1$; dans $E_2$, soient $A$ un ensemble convexe compact contenant $0$, $D$ une droite passant par $0$, tels que $D \cap A = \{0\}$ et qu’il n’existe pas d’hyperplan d’appui fermé de $A$ au point $0$ (exerc. 10). Soient $(\alpha_n), (\beta_n)$ deux suites de nombres $\geq 0$ telles que $\lim_{n \to \infty} \beta_n = 0$ et $\sum \alpha_n^{-1} < 1$. Soit $P$ l’ensemble des points $\sum \xi_n e_n$ de $E_1$ tels que $0 \leq \xi_n \leq \alpha_n$ pour tout $n \geq 1$. Enfin, soit $Q$ l’enveloppe fermée convexe dans $E$ de l’ensemble des points $(\alpha_n e_n, x + \beta_n a)$, où $n \geq 1$, $a \neq 0$ est un point fixé de $D$ et $x$ parcourt $A$. a) Montrer que $P \cap Q = \varnothing$ et qu’il n’existe aucun hyperplan fermé dans $E$ séparant $P$ et $Q$. b) Soit $F$ la somme hilbertienne $E \oplus \mathbf{R}$, et soit $c$ un point quelconque de $F$ non contenu dans $E$. Montrer que les cônes convexes pointés $P_1, Q_1$ de sommet $c$, engendrés par $P$ et $Q$ respectivement, sont fermés dans $F$ et qu’il n’existe aucun hyperplan fermé dans $F$ et séparant $P_1$ et $Q_1$ (pour voir que $P_1$ et $Q_1$ sont fermés, on prouvera que ni $P$ ni $Q$ ne contiennent de demi-droite).