Bài tập 11, § 2

Cho $E_1, E_2$ là hai không gian hilbert thực vô hạn chiều thỏa mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm được, và E là tổng hilbert $E_1 \oplus E_2$ (mà ta sẽ đồng nhất với tích $E_1 \times E_2$). Cho $(e_n)_{n \geq 1}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_1$; trong $E_2$, cho A là một tập lồi compact chứa 0, và D là một đường thẳng đi qua 0, sao cho $D \cap A = \{0\}$ và giả sử không tồn tại siêu phẳng tựa đóng nào của A tại điểm 0 (exerc. 10). Cho $(\alpha_n), (\beta_n)$ là hai dãy số $\geq 0$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \beta_n = 0$ và $\sum_n \alpha_n^{-1} < 1$. Cho P là tập hợp tất cả các điểm $\sum_n \xi_n e_n$ của $E_1$ sao cho $0 \leq \xi_n \leq \alpha_n$ với mọi $n \geq 1$. Cuối cùng, cho Q là bao lồi đóng trong E của tập hợp tất cả các điểm $(\alpha_n e_n, x + \beta_n a)$, trong đó $n \geq 1$, $a \neq 0$ là một điểm cố định trong D và x chạy trên A. a) Chứng minh rằng $P \cap Q = \varnothing$ và không tồn tại siêu phẳng đóng nào trong E tách P và Q. b) Cho F là tổng hilbert $E \oplus \mathbf{R}$, và cho c là một điểm tùy ý của F không được chứa trong E. Chứng minh rằng các nón lồi nhọn $P_1, Q_1$ có đỉnh c, lần lượt sinh bởi P và Q, là đóng trong F và không tồn tại siêu phẳng đóng nào trong F tách $P_1$ và $Q_1$ (để thấy rằng $P_1$ và $Q_1$ là đóng, hãy chứng minh rằng cả P lẫn Q đều không chứa nửa đường thẳng).