Exercice 12, § 2

Soit $E$ un espace hilbertien réel de dimension infinie. Montrer qu’il existe sur $E$ une infinité de structures d’espace hilbertien complexe telles que $E$ soit l’espace localement convexe réel sous-jacent à ces espaces hilbertiens complexes (II, p. 64). (Pour prouver l’existence d’automorphismes $u$ de la structure d’espace vectoriel topologique de $E$, tels que $u^2(x) = -x$, utiliser une base orthonormale de $E$; appliquer ensuite V, p. 59, exerc. 1.) Donner un exemple montrant que la proposition ne s’étend pas aux espaces préhilbertiens séparés non complets (considérer un hyperplan partout dense dans un tel espace).