Bài tập 12, § 2

Cho E là một không gian hilbert thực vô hạn chiều. Hãy chỉ ra rằng tồn tại vô hạn các cấu trúc không gian hilbert phức trên E sao cho E là không gian lồi địa phương thực cơ sở của các không gian hilbert phức này (II, p. 61). (Để chứng minh sự tồn tại của các tự đẳng cấu u của cấu trúc không gian vectơ tôpô của E, sao cho $u^2(x) = -x$, hãy sử dụng một cơ sở trực chuẩn của E; sau đó áp dụng V, p. 60, bài tập 1.) Hãy cho một ví dụ để chỉ ra rằng mệnh đề không mở rộng được đến các không gian tiềnhilbert Hausdorff không đầy đủ (xét một siêu phẳng trù mật khắp nơi trong một không gian như vậy).