Exercice 13, § 2

Soient $E$ un espace hilbertien de type dénombrable et de dimension infinie, $(e_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ une base orthonormale de $E$ dont l’ensemble des indices est l’ensemble des entiers rationnels. On désigne par $u$ l’isométrie de $E$ sur lui-même telle que $u(e_n) = e_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$, et on pose

a) Soient $B$ la boule unité et $S$ la sphère unité dans $E$. Montrer que la restriction de $f$ à $B$ est un homéomorphisme de $B$ sur elle-même (remarquer que la restriction de $u$ à $S$ est un homéomorphisme de $S$ sur elle-même), et qu’il n’existe aucun point $x_0 \in B$ tel que $f(x_0) = x_0$ (exprimer $x_0$ à l’aide de ses coordonnées par rapport à $(e_n)$). b) Pour tout $x \in B$, soit $g(x)$ le point où la demi-droite d’origine $f(x)$ passant par $x$ rencontre $S$. Montrer que $g$ est une application continue de $B$ sur $S$, telle que $g(x) = x$ pour tout $x \in S$ (comparer avec TG, VI, p. 24, exerc. 8). En déduire qu’il existe $x_0 \in S$ et une application continue $h$ de $S \times \{0, 1\}$ sur $S$ telle que $h(x, 0) = x_0$ et $h(x, 1) = x$ pour tout $x \in S$.