Bài tập 13, § 2

Cho E là một không gian hilbert vô hạn chiều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất và $(e_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là một cơ sở trực chuẩn của E có tập hợp các chỉ số là tập hợp các số nguyên hữu tỉ. Gọi u là phép đẳng cự từ E lên chính nó sao cho $u(e_n) = e_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$, và đặt

a) Cho B là quả cầu đơn vị và S là mặt cầu đơn vị trong E. Chứng minh rằng hạn chế của f lên B là một đồng phôi từ B lên chính nó (nhận xét rằng hạn chế của u lên S là một đồng phôi từ S lên chính nó), và rằng không tồn tại điểm nào $x_0 \in B$ sao cho $f(x_0) = x_0$ (biểu diễn $x_0$ theo các tọa độ của nó đối với $(e_n)$). b) Với mọi $x \in B$, gọi $g(x)$ là điểm giao của S với nửa đường thẳng có gốc là $f(x)$ đi qua x. Chứng minh rằng g là một ánh xạ liên tục từ B lên S, sao cho $g(x) = x$ với mọi $x \in S$ (so sánh với GT, VI, § 2, exerc. 8). Suy ra rằng tồn tại $x_0 \in S$ và một ánh xạ liên tục h từ $S \times [0, 1]$ lên S sao cho $h(x, 0) = x_0$ và $h(x, 1) = x$ với mọi $x \in S$.