Exercice 14, § 2

a) Soit $(E_n)_{n \geq 0}$ une suite infinie d’espaces de Banach réels, $E$ le sous-espace vectoriel du produit $F = \prod_{n=0}^\infty E_n$ formé des suites $x = (x_n)$ telles que $\sum \|x_n\|^2 < +\infty$. Montrer que, sur $E$, la fonction $\|x\| = (\sum \|x_n\|^2)^{1/2}$ est une norme, et que $E$ est complet pour cette norme ; on dit que $E$ est la somme hilbertienne des espaces de Banach $E_n$. b) Montrer que le dual fort $E'$ de $E$ peut être identifié à la somme hilbertienne des duals forts $E'_n$ des espaces $E_n$, et que si $x' = (x'_n) \in E'$, on a $\langle x, x' \rangle = \sum \langle x_n, x'_n \rangle$ (si $u$ est une forme linéaire continue sur $E$, $u_n$ sa restriction à $E_n$ identifié à un sous-espace de $E$, et $a_n$ un point de $E_n$ tel que $\|a_n\| = 1$, montrer que, pour toute suite $(\lambda_n)$ de nombres réels tels que $\sum \lambda_n^2 < +\infty$, la série de terme général $\lambda_n u_n(a_n)$ est convergente, et déduire de là que $\sum (u_n(a_n))^2 < +\infty$, par exemple en utilisant le th. de Banach-Steinhaus dans $\ell^2(\mathbf{N})$. c) Déduire de b) que lorsque chacun des $E_n$ est réflexif, $E$ est réflexif. En particulier, si l’on prend pour $E_n$ l’espace $\mathbf{R}^n$ muni de la norme $\|x\| = \sup_{1 \leq i \leq n} |\xi_i|$ pour $x = (\xi_i)_{1 \leq i \leq n}$, montrer que $E$ est réflexif, mais qu’il n’existe aucune norme compatible avec la topologie de $E$ et pour laquelle $E$ soit uniformément convexe (V, p. 66, exerc. 31).