Bài tập 14, § 2

(a) Cho $(E_n)_{n \geq 0}$ là một dãy vô hạn các không gian Banach thực, E là không gian con vectơ của tích $F = \prod_{n=0}^\infty E_n$ gồm tất cả các dãy $x = (x_n)$ sao cho $\sum_n \|x_n\|^2 < +\infty$. Hãy chỉ ra rằng hàm $\|x\| = (\sum_n \|x_n\|^2)^{1/2}$ trên E là một chuẩn, và E là đầy đủ đối với chuẩn này : ta nói rằng E là tổng Hilbert của các không gian Banach $E_n$. (b) Hãy chỉ ra rằng đối ngẫu mạnh $E'$ của E có thể được đồng nhất với tổng Hilbert của các đối ngẫu mạnh $E'_n$ của các không gian $E_n$, và rằng nếu $x' = (x'_n) \in E'$, thì $\langle x, x' \rangle = \sum_n \langle x_n, x'_n \rangle$ (nếu u là một dạng tuyến tính liên tục trên E, $u_n$ là hạn chế của nó lên $E_n$ được xem như một không gian con của E, và $a_n$ là một điểm của $E_n$ sao cho $\|a_n\| = 1$, hãy chỉ ra rằng, với mọi dãy $(\lambda_n)$ các số thực sao cho $\sum \lambda_n^2 < +\infty$ chuỗi có số hạng tổng quát $\lambda_n u_n(a_n)$ là hội tụ, và suy ra rằng $\sum_n (u_n(a_n))^2 < +\infty$, sử dụng định lý Banach-Steinhaus cho $\ell^2(\mathbf{N})$, chẳng hạn). (c) Suy ra từ b) rằng khi mỗi $E_n$ là phản xạ, thì E là phản xạ. Đặc biệt, nếu đối với $E_n$ ta lấy không gian $\mathbf{R}^n$ được trang bị chuẩn $\|x\| = \sup_{1 \leq i \leq n} |\xi_i|$ với $x = (\xi_i)_{1 \leq i \leq n}$, hãy chỉ ra rằng E là phản xạ, nhưng không tồn tại chuẩn nào tương thích với tôpô của E và với chuẩn đó E là lồi đều (V, p. 67, exerc. 31).