Exercice 15, § 2

a) Pour tout entier $n > 0$, soit $a^{(n)}$ la suite double définie dans IV, p. 63, exerc. 8. Soit E l’espace vectoriel des suites doubles $x = (x_{ij})$ de nombres réels telles que, pour tout entier $n > 0$, on ait $p_n(x) = (\sum_{i,j} a_{ij}^{(n)} |x_{ij}|^2)^{1/2} < + \infty$. Montrer que les $p_n$ sont des semi-normes sur E, et que E, muni de la topologie définie par ces semi-normes, est un espace de Fréchet et un espace de Montel (raisonner comme dans IV, p. 60, exerc. 11). b) Montrer que le dual de E peut être identifié à l’espace E’ des suites doubles $x' = (x'_{ij})$ telles que, pour un indice $n$ au moins, on ait $\sum_{i,j} (a_{ij}^{(n)})^{-1} |x'_{ij}|^2 < + \infty$. c) Pour tout $x = (x_{ij}) \in E$, montrer que $\sum_{j=1}^\infty (\sum_{i=1}^\infty |x_{ij}|)^2 < + \infty$ (utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz); pour tout $j \geq 1$, on pose $y_j = \sum_{i=1}^\infty x_{ij}$; la suite $u(x) = (y_j)$ appartient donc à l’espace hilbertien $\ell^2(\mathbf{N})$. Montrer que $u$ est un morphisme strict surjectif de E sur $\ell^2(\mathbf{N})$; en déduire qu’il existe dans $\ell^2(\mathbf{N})$ des ensembles faiblement compacts qui ne sont pas images par $u$ d’un ensemble borné dans E (raisonner comme dans IV, p. 63, exerc. 8).