Bài tập 15, § 2

a) Với mọi số nguyên $n > 0$, cho $a^{(n)}$ là dãy kép được định nghĩa trong IV, p. 63, exerc. 8. Cho E là không gian vectơ của các dãy kép $x = (x_{ij})$ các số thực sao cho, với mọi số nguyên $n > 0$, ta có $p_n(x) = (\sum_{i,j} a_{ij}^{(n)} |x_{ij}|^2)^{1/2} < + \infty$. Chứng minh rằng các $p_n$ là các bán chuẩn trên E, và rằng E được trang bị tôpô xác định bởi các bán chuẩn này là một không gian Fréchet và một không gian Montel (lập luận như trong IV, p. 60, exerc. 11). b) Chứng minh rằng đối ngẫu của E có thể được đồng nhất với không gian $E'$ của tất cả các dãy kép $x' = (x'_{ij})$ sao cho, với ít nhất một chỉ số $n$, ta có $\sum_{i,j} (a_{ij}^{(n)})^{-1} |x'_{ij}|^2 < + \infty$. c) Với mọi $x = (x_{ij}) \in E$, chứng minh rằng $\sum_{j=1}^\infty (\sum_{i=1}^\infty |x_{ij}|^2) < + \infty$ (dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz); với mọi $j \geq 1$, đặt $y_j = \sum_{i=1}^\infty x_{ij}$; dãy $u(x) = (y_j)$ khi đó thuộc không gian Hilbert $\ell^2(\mathbf{N})$. Chứng minh rằng $u$ là một cấu xạ toàn ánh ngặt từ E lên $\ell^2(\mathbf{N})$; suy ra rằng tồn tại các tập hợp yếu compact trong $\ell^2(\mathbf{N})$ không phải là ảnh theo $u$ của một tập hợp bị chặn trong E (lập luận như trong IV, p. 63, exerc. 8).