Exercice 16, § 2

a) Soit $\Lambda$ l’ensemble des applications croissantes $\lambda : \mathbf{N} \to \mathbf{R}_+^*$; pour tout entier $n \geq 0$, et tout $\lambda \in \Lambda$, on pose $\varphi_n(\lambda) = \lambda(n)$. Soit E l’ensemble des applications $x : \Lambda \to \mathbf{C}$ telles que, pour chaque $n \in \mathbf{N}$, on ait $p_n(x) = (\sum_{\lambda \in \Lambda} |x(\lambda)|^2 \varphi_n(\lambda))^{1/2} < + \infty$. Montrer que E est un espace vectoriel sur lequel les $p_n$ sont des semi-normes définissant une structure d’espace de Fréchet réflexif. b) Soit B un ensemble borné dans E, et soit $\alpha_n = \sup_{x \in B} p_n(x)$; soit $\lambda_0$ un élément de $\Lambda$ tel que $\lim_{n \to \infty} \lambda_0(n)^{-1} \alpha_n^2 = 0$. Montrer que l’on a $x(\lambda_0) = 0$ pour tout $x \in B$, et par suite que l’ensemble B n’est pas total dans E. c) Soit $(U_n)$ un système fondamental dénombrable de voisinages de 0 convexes et équilibrés dans E ; si $U_n^o$ est métrisable pour la topologie forte sur E’, il existe une suite $(B_{nm})_{m \geq 0}$ d’ensembles bornés dans E telle que les ensembles $B_{nm}^o \cap U_n^o$ forment un système fondamental de voisinages de 0 dans $U_n^o$ pour la topologie forte. Déduire de b) qu’il existe un entier $n$ tel que $U_n^o$ ne soit pas métrisable pour la topologie forte (utiliser l’exerc. 5 de III, p. 39).