Bài tập 16, § 2

(a) Cho $\Lambda$ là tập hợp các ánh xạ tăng $\lambda : \mathbf{N} \to \mathbf{R}_+^*$; với mỗi số nguyên $n \geq 0$, và mỗi $\lambda \in \Lambda$, đặt $\phi_n(\lambda) = \lambda(n)$. Cho E là tập hợp tất cả các ánh xạ $x : \Lambda \to \mathbf{C}$ sao cho, với mọi $n \in \mathbf{N}$, ta có $p_n(x) = (\sum_{\lambda \in \Lambda} |x(\lambda)|^2 \phi_n(\lambda))^{1/2} < + \infty$. Chứng minh rằng E là một không gian vectơ trên đó các $p_n$ là các bán chuẩn xác định một cấu trúc không gian Fréchet phản xạ. (b) Cho B là một tập hợp bị chặn trong E, và đặt $\alpha_n = \sup_{x \in B} p_n(x)$; cho $\lambda_0$ là một phần tử của $\Lambda$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \lambda_0(n)^{-1} \alpha_n^2 = 0$. Chứng minh rằng $x(\lambda_0) = 0$ với mọi $x \in B$, và do đó tập hợp B không toàn phần trong E. (c) Cho $(U_n)$ là một hệ cơ bản đếm được các lân cận lồi và cân bằng của 0 trong E; nếu $U_n^\circ$ mêtric hóa được đối với tôpô mạnh trên $E'$, thì tồn tại một dãy $(B_{nm})_{m \geq 0}$ các tập hợp bị chặn trong E sao cho các tập hợp $B_{nm}^\circ \cap U_n^\circ$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong $U_n^\circ$ đối với tôpô mạnh. Suy ra từ b) rằng tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $U_n^\circ$ không mêtric hóa được đối với tôpô mạnh (dùng bài tập 5 của III, p. 38).