Exercice 4, § 2

Soient $E$ un espace préhilbertien séparé, $(E_i)_{i \in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels complets de $E$, bien ordonnée par inclusion, telle que la réunion des $E_i$ soit partout dense dans $E$. Montrer qu’il existe une base orthonormale $(e_\alpha)_{\alpha \in A}$ de $E$ possédant la propriété suivante : pour tout $i \in I$ l’ensemble des $e_\alpha$ appartenant à $E_i$ est une base orthonormale de $E_i$. (Considérer l’ensemble des parties orthonormales $S$ de $E$ telles que, pour tout $i \in I$, tout vecteur de $S$ n’appartenant pas à $E_i$ soit orthogonal à $E_i$, et prendre un élément maximal de cet ensemble). Déduire de là une nouvelle démonstration du corollaire de V, p. 24.