Bài tập 4, § 2

Cho $E$ là một không gian tiền Hilbert Hausdorff, $(E_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian vectơ con đầy đủ của $E$, được sắp tốt theo bao hàm, sao cho hợp của tất cả các $E_i$ là trù mật khắp nơi trong $E$. Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_\alpha)_{\alpha \in A}$ trong $E$ có tính chất sau: đối với mọi $i \in I$, tập hợp tất cả các $e_\alpha$ thuộc $E_i$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_i$. (Xét tập hợp tất cả các tập con trực chuẩn $S$ trong $E$ sao cho, đối với mọi $i \in I$, mọi vectơ của $S$ không thuộc $E_i$, là trực giao với $E_i$, và lấy một phần tử cực đại của tập hợp này.) Từ đó, suy ra một chứng minh mới của hệ quả của V, p. 24.