Exercice 6, § 2

Soient E un espace hilbertien, $(e_i)_{i\in I}$ une base orthonormale de E. Montrer que si $(a_i)_{i\in I}$ est une famille topologiquement libre dans E telle que $\sum_{i\in I} \|e_i - a_i\|^2 < +\infty$, la famille $(a_i)$ est totale. (Soit J une partie finie de I ; montrer qu’il y a une application linéaire continue $u$ de E dans lui-même telle que $u(e_i) = e_i$ pour $i \in J$, $u(e_i) = a_i$ pour $i \notin J$, et que la norme de $u - 1_E$ peut être prise arbitrairement petite en choisissant J convenablement ; utiliser alors IV, p. 66, exerc. 17.)