Bài tập 6, § 2

Cho E là một không gian Hilbert và $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở trực chuẩn của E. Chứng minh rằng nếu $(a_i)_{i \in I}$ là một họ độc lập tôpô trong E sao cho $\sum_{i \in I} \|e_i - a_i\|^2 < + \infty$, thì họ $(a_i)$ là toàn phần. (Cho J là một tập con hữu hạn của I; chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ E vào chính nó sao cho $u(e_i) = e_i$ với $i \in J$, $u(e_i) = a_i$ với $i \notin J$, và chuẩn của $u - 1_E$ có thể làm nhỏ tùy ý bằng một lựa chọn thích hợp của J; sau đó sử dụng IV, p. 65, bài tập 17.)