Exercice 8, § 2

Soit E un espace hilbertien admettant une base orthonormale dénombrable infinie $(e_n)_{n \geq 1}$. Soit A l’enveloppe fermée convexe dans E de l’ensemble formé des points $\left(1 - \frac{1}{n}\right)e_n$ pour $n \geq 1$. Montrer qu’il n’existe aucun couple de points $x, y$ de A dont la distance soit égale au diamètre de A (comparer à IV, p. 54, exerc. 12).