Exercice 9, § 2

a) Soit E un espace hilbertien réel de type dénombrable et de dimension infinie. Soit $(a_n)_{n \geq 0}$ une famille libre de points de E, telle que chacune des deux familles $(a_{2n})$ et $(a_{2n+1})$ soit totale dans E (II, p. 85, exerc. 26, a)). Soient F et G les sous-espaces vectoriels de E ayant pour bases (algébriques) respectives $(a_{2n})$ et $(a_{2n+1})$. Les espaces F et G sont mis en dualité séparante par la forme bilinéaire $\langle y|z \rangle$. Montrer que si B désigne la boule unité dans E, alors, dans l’espace F, muni de la topologie $\sigma(F, G)$, l’ensemble convexe $F \cap B$ est fermé, mais n’admet aucun hyperplan d’appui fermé. b) Soit $(b_n)_{n \geq 1}$ une suite partout dense dans B, et pour tout $x \in E$, soit $u(x)$ la suite $(\langle b_k|x\rangle/k)_{k \geq 1}$. Montrer que $u$ est une application linéaire injective et continue de E dans l’espace hilbertien $\ell^2_\mathbf{R}(N)$ et que $u(B)$ est compact. Montrer que, dans le sous-espace normé $L = u(F)$ de $\ell^2_\mathbf{R}(N)$, l’ensemble $u(B \cap F)$ est convexe, fermé et précompact, mais n’admet aucun hyperplan d’appui fermé (remarquer que si $f$ est une forme linéaire continue dans L, $f \circ u$ est une forme linéaire continue dans F pour la topologie $\sigma(F, G)$).