Bài tập 9, § 2

a) Cho E là một không gian Hilbert thực vô hạn chiều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Cho $(a_n)_{n \geq 0}$ là một họ điểm tự do trong E, sao cho mỗi họ trong hai họ $(a_{2n})$ và $(a_{2n+1})$ là toàn phần trong E (II, p. 80, exerc. 26, $a$). Cho F và G là hai không gian con vectơ của E mà $(a_{2n})$ và $(a_{2n+1})$ lần lượt là các cơ sở (đại số). Các không gian F và G được đặt trong đối ngẫu tách bởi dạng song tuyến tính $\langle y|z \rangle$. Chứng minh rằng nếu B ký hiệu quả cầu đơn vị trong E, thì trong không gian F, được trang bị tôpô $\sigma(F, G)$, tập lồi $F \cap B$ là đóng, nhưng không có siêu phẳng tựa đóng nào. b) Cho $(b_n)_{n \geq 1}$ là một tập hợp trù mật khắp nơi trong B, và với mọi $x \in E$, cho $u(x)$ là dãy $(\langle b_k|x\rangle/k)_{k \geq 1}$. Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục đơn ánh từ E vào không gian Hilbert $\ell^2(\mathbf{N})$ và rằng $u(B)$ là compact. Chứng minh rằng, trong không gian con chuẩn $L = u(F)$ của $\ell^2(\mathbf{N})$, tập hợp $u(B \cap F)$ là đóng, lồi và tiền compact, nhưng không có siêu phẳng tựa đóng nào (nhận xét rằng nếu $f$ là một dạng tuyến tính liên tục trên L, thì $f \circ u$ là một dạng tuyến tính liên tục trên F đối với tôpô $\sigma(F, G)$).