Exercice 1, § 4

Soient E et F deux espaces hilbertiens de dimension infinie et de type dénombrable, $(a_n)$ une base orthonormale de E, $(b_n)$ une base orthonormale de F. a) Soit $u$ une application linéaire continue de E dans F ; on pose $u(a_n) = \sum_m \alpha_{mn} b_m$. Montrer que l’on a $\sum_n |\alpha_{mn}|^2 \leq \|u\|^2$ et $\sum_m |\alpha_{mn}|^2 \leq \|u\|^2$ quels que soient $m$ et $n$. b) Donner un exemple de suite double $(\alpha_{mn})$ telle que $\sum_m |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$ pour tout $n$ et $\sum_n |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$ pour tout $m$, mais telle qu’il n’existe aucune application linéaire continue $u$ de E dans F telle que $\langle u(a_n)|b_m \rangle = \alpha_{mn}$ pour tout couple d’entiers $(m, n)$. (Montrer que si $I \subset \mathbf{N}$ est un ensemble de $p$ entiers, et si $V_p$ (resp. $W_p$) est le sous-espace de E (resp. F) engendré par les $a_n$ (resp. $b_n$) tels que $n \in I$, il existe une application linéaire $u_p$ de $V_p$ sur $W_p$ telle que $\langle u_p(a_n)|b_m \rangle = \frac{1}{\sqrt{p}}$ pour $m \in I$ et $n \in I$, et que l’on a $\|u_p\| \geq \sqrt{p}$.)