Bài tập 1, § 4

Cho $E$ và $F$ là hai không gian Hilbert vô hạn chiều và kiểu đếm được, $(a_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của E, $(b_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của F. a) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F; đặt $u(a_n) = \sum_m \alpha_{mn} b_m$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $\sum_n |\alpha_{mn}|^2 \leq \|u\|^2$ và $\sum_m |\alpha_{mn}|^2 \leq \|u\|^2$ với mọi $m$ và $n$. b) Cho một ví dụ về một dãy kép $(\alpha_{mn})$ sao cho $\sum_m |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$ với mọi $n$ và $\sum_n |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$ với mọi $m$, nhưng sao cho không tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ E vào F thỏa mãn $\langle u(a_n)|b_m \rangle = \alpha_{mn}$ với mọi cặp số nguyên $(m, n)$. (Chứng minh rằng nếu $I \subset \mathbf{N}$ là một tập hợp gồm $p$ số nguyên, và nếu $V_p$ (tương ứng $W_p$) là không gian con của E (tương ứng F) sinh bởi các $a_n$ (tương ứng $b_n$) sao cho $n \in I$, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính $u_p$ từ $V_p$ lên $W_p$ sao cho $\langle u_p(a_n)|b_m \rangle = \frac{1}{\sqrt{p}}$ với $m \in I$ và $n \in I$, và ta có $\|u_p\| \geq \sqrt{p}$.)