Exercice 10, § 4

Soient E un espace hilbertien, $u$ un endomorphisme positif de E. a) Montrer que pour tout $x\in E$, on a

(observer que $\langle u(x)|u(x)\rangle^2\leq\langle u(x)|x\rangle\langle u^2(x)|u(x)\rangle$ en vertu de V, p.3, prop. 2). b) Soient M un sous-espace vectoriel fermé de E, $M^\circ$ son supplémentaire orthogonal. Soit $x\in M$, et soit $f(x)$ la borne inférieure de $\langle u(x+y)|x+y\rangle$ lorsque $y$ parcourt $M^\circ$. Pour tout $\varepsilon>0$, soit $E(x,\varepsilon)$ l’ensemble des $y\in M^\circ$ tels que $\langle u(x+y)|x+y\rangle\leq f(x)+\varepsilon$. Montrer que $E(x,\varepsilon)$ est convexe et que pour tout $z\in M^\circ$, on a, pour $y\in E(x,\varepsilon)$, ()

$$\langle u(x+y)|z\rangle^2\leq\varepsilon\langle u(z)|z\rangle$$

(considérer la fonction $g:t\mapsto\langle u(x+y+tz)|x+y+tz\rangle$ de la variable réelle $t$, qui atteint son minimum en un point $t_0$ et noter que $g(t_0)\geq f(x)$ et $g(0)\leq f(x)+\dot{\varepsilon}$. c) Pour tout entier $n\geq 1$, soit $y_n\in E(x,1/n)$; montrer que la suite $(u(x+y_n))$ tend vers une limite $x_1$ qui appartient à M, et que la suite $(\langle u(y_n)|y_n\rangle)$ est bornée (majorer les nombres $\langle u(y_n-y_m)|y_n-y_m\rangle$ pour $m\geq n$ et $|\langle u(x+y_n)|z\rangle|$ pour $z\in M^\circ$ à l’aide de l’inégalité ()). d) Soit $(y'_n)$ une suite de points de $M^0$ telle que $\langle u(y'_n-y'_m)|y'_n-y'_m\rangle$ soit arbitrairement petit dès que $m$ et $n$ sont assez grands, et que la suite $(u(x+y'_n))$ ait une limite $x'_1\in M$; montrer que l’on a $x'_1=x_1$. (Posant pour abréger $Q(z)=\langle u(z)|z\rangle$ montrer d’abord que le nombre $Q((y_p-y'_p)-(y_q-y'_q))$ est arbitrairement petit dès que $p$ et $q$ sont assez grands, et en déduire que la suite $(Q(y_n-y'_n))$ est bornée; en utilisant le fait que $\langle x'_1-x_1|y_p-y'_p\rangle=0$ pour tout $p$, montrer que la suite $(Q(y_n-y'_n))$ tend vers 0 et utiliser a.).)

e) Déduire de d) que le point $x_1$ ne dépend pas du choix des $y_n \in E(x, 1/n)$, et que si l’on pose $u_1(x) = x_1$, $u_1$ est une application linéaire de $M$ dans lui-même. Montrer que l’on a $0 \leq \langle u_1(x)|x \rangle \leq \langle u(x)|x \rangle$ pour tout $x \in M$, et par suite que $u_1$ est continue et est un endomorphisme $\geq 0$ de $M$. (Remarquer que $\langle u(x + y_n)|y_n \rangle$ tend vers 0 et $\langle u(x + y_n)|x + y_n \rangle$ vers $f(x)$.) f) Soit $p_M$ l’orthoprojecteur d’image $M$, et soit $u_0 = u_1 \circ p_M$. On a $0 \leq u_0 \leq u$, $M$ est stable par $u_0$ et la restriction de $u_0$ à $M^\circ$ est nulle. Montrer que $u_0$ est le plus grand élément de l’ensemble des endomorphismes $v \geq 0$ tels que $v \leq u$, que $M$ soit stable par $v$ et que la restriction de $v$ à $M^\circ$ soit nulle.