Bài tập 10, § 4

Cho $E$ là một không gian Hilbert, và $u$ là một tự đồng cấu dương của E. a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $x\in E$, ta có

(quan sát rằng $\langle u(x)|u(x)\rangle^2\leq\langle u(x)|x\rangle\langle u^2(x)|u(x)\rangle$ nhờ V, p.3, mệnh đề 2). b) Cho M là một không gian con vectơ đóng của E, và cho $M^\circ$ là phần bù trực giao của nó. Cho $x\in M$, và cho $f(x)$ là cận dưới lớn nhất của $\langle u(x+y)|x+y\rangle$ khi $y$ chạy qua $M^\circ$. Với mọi $\varepsilon>0$, cho $E(x,\varepsilon)$ là tập hợp các $y\in M^\circ$ sao cho $\langle u(x+y)|x+y\rangle\leq f(x)+\varepsilon$. Bây giờ chứng minh rằng $E(x,\varepsilon)$ là lồi và rằng với mọi $z\in M^\circ$, ta có, với $y\in E(x,\varepsilon)$, ()

$$\langle u(x+y)|z\rangle^2\leq\varepsilon\langle u(z)|z\rangle$$

(xét hàm $g:t\mapsto\langle u(x+y+tz)|x+y+tz\rangle$ của biến thực $t$, đạt giá trị nhỏ nhất của nó tại một điểm $t_0$ và chú ý rằng $g(t_0)\geq f(x)$ và $g(0)\leq f(x)+\dot{\varepsilon}$). c) Với mọi số nguyên $n\geq 1$, cho $y_n\in E(x,1/n)$; bây giờ chứng minh rằng dãy $(u(x+y_n))$ tiến tới một giới hạn $x_1$ thuộc M, và rằng dãy $(\langle u(y_n)|y_n\rangle)$ bị chặn (lấy chặn trên các số $\langle u(y_n-y_m)|y_n-y_m\rangle$ với $m\geq n$ và $|\langle u(x+y_n)|z\rangle|$ với $z\in M^\circ$ bằng bất đẳng thức ()). d) Cho $(y'_n)$ là một dãy các điểm của $M^0$ sao cho $\langle u(y'_n-y'_m)|y'_n-y'_m\rangle$ nhỏ tùy ý ngay khi m và n đủ lớn, và sao cho dãy $(u(x+y'_n))$ có một giới hạn $x'_1\in M$; bây giờ chứng minh rằng $x'_1=x_1$. (Đặt, để viết gọn, $Q(z)=\langle u(z)|z\rangle$, trước hết chứng minh rằng số $Q((y_p-y'_p)-(y_q-y'_q))$ nhỏ tùy ý ngay khi p và q đủ lớn, và suy ra rằng dãy $(Q(y_n-y'_n))$ bị chặn; dùng sự kiện rằng $\langle x'_1-x_1|y_p-y'_p\rangle=0$ với mọi p, chứng minh rằng dãy $(Q(y_n-y'_n))$ tiến tới 0 và dùng a.).)

e) Suy ra từ d) rằng điểm $x_1$ không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các $y_n \in E(x, 1/n)$, và rằng nếu đặt $u_1(x) = x_1$, thì $u_1$ là một ánh xạ tuyến tính từ $M$ vào chính nó. Bây giờ chứng minh rằng ta có $0 \leq \langle u_1(x)|x \rangle \leq \langle u(x)|x \rangle$ với mọi $x \in M$, và do đó $u_1$ là liên tục và là một tự đồng cấu $\geq 0$ của $M$. (Nhận xét rằng $\langle u(x + y_n)|y_n \rangle$ tiến tới 0 và $\langle u(x + y_n)|x + y_n \rangle$ tiến tới $f(x)$.) f) Gọi $p_M$ là phép chiếu trực giao có ảnh $M$, và đặt $u_0 = u_1 \circ p_M$. Ta có $0 \leq u_0 \leq u$, $M$ ổn định đối với $u_0$ và hạn chế của $u_0$ lên $M^\circ$ là không. Bây giờ chứng minh rằng $u_0$ là phần tử lớn nhất của tập hợp các tự đồng cấu $v \geq 0$ sao cho $v \leq u$, rằng $M$ ổn định đối với $v$ và rằng hạn chế của $v$ lên $M^\circ$ là không.