Exercice 11, § 4

Soient $E$ et $F$ deux espaces hilbertiens. Montrer que, pour tout élément $u$ de $E \otimes_2 F$, il existe une suite orthonormale $(e_n)$ dans $E$, une suite orthonormale $(f_n)$ dans $F$ et une suite $(\lambda_n)$ de nombres $\geq 0$, telles que $\sum \lambda_n^2 < +\infty$ et que $u = \sum \lambda_n e_n \otimes f_n$; on a alors $\|u\|_2^2 = \sum \lambda_n^2$ (cf. V, p. 54, th. 2 et p. 52, th. 1).