Exercice 14, § 4

Soient E un espace hilbertien complexe, T un endomorphisme de Hilbert-Schmidt de E. a) Soient R et L les endomorphismes de Hilbert-Schmidt positifs tels que $R^2 = T^*T$ et $L^2 = TT^*$ (V, p. 56, cor. 3); on pose $R = \operatorname{abs}(T)$, et on dit que c’est la « valeur absolue » de T (cf. V, p. 74, exerc. 4); on a $L = \operatorname{abs}(T^*)$. Montrer que l’on a $\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{Ker}(R)$ et $L(E) = \overline{T(E)}$. Il existe une isométrie V et une seule de $R(E)$ sur $T(E)$ telle que $T = VR$; si on prolonge V par continuité à $\overline{R(E)}$, puis à un opérateur $U \in \mathscr{L}(E)$ en prenant $U.x = 0$ dans le supplémentaire orthogonal de $R(E)$, on a aussi $T = UR$ (décomposition polaire de T). On a $R = U^*T = U^*UR = RU^*U$ et $L = URU^*, \ T = LU^*$. Si T appartient à $\mathscr{L}^1(E)$, il en est de même de $R = \operatorname{abs}(T)$, et T est produit de deux endomorphismes de Hilbert-Schmidt. b) Si T appartient à $\mathscr{L}^1(E)$, montrer que l’on a $\operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T)) = \sup_i (\sum | \langle a_i|T.b_i \rangle |)$, où au second membre $(a_i)$ et $(b_i)$ parcourent l’ensemble des bases orthonormales de E (utiliser la décomposition polaire de T). Montrer que si l’on pose $\|T\|_1 = \operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T))$, $\|T\|_1$ est une norme sur l’espace $\mathscr{L}^1(E)$, telle que $\|T\|_2 \leq \|T\|_1$. c) Inversement, si $T \in \mathscr{L}(E)$ est telle que, pour tout couple $((a_i), (b_i))$ de bases orthonormales de E, la somme $\sum_i |\langle a_i|T.b_i \rangle|$ soit finie, T appartient à $\mathscr{L}^1(E)$ (remarquer d’abord que T est un endomorphisme de Hilbert-Schmidt, et utiliser la décomposition polaire de T). d) Soit $(T_v)$ une suite d’endomorphismes de Hilbert-Schmidt (resp. d’éléments de $\mathscr{L}^1(E)$) telle que, pour tout couple de points x, y de E, la suite $(\langle x|T_v.y \rangle)$ soit convergente vers $\langle x|T.y \rangle$, où T est une application linéaire de E dans lui-même; on suppose de plus que la suite des normes $\|T_v\|_2$ (resp. $\|T_v\|_1$) est bornée. Montrer que T est un endomorphisme de Hilbert-Schmidt (resp. un élément de $\mathscr{L}^1(E)$) (utiliser b) et c)). e) Déduire de d) que l’espace $\mathscr{L}^1(E)$ est un espace de Banach pour la norme $\|T\|_1$. f) Pour qu’un endomorphisme $T \in \mathscr{L}(E)$ appartienne à $\mathscr{L}^1(E)$, il faut et il suffit que, pour une base orthonormale $(e_i)$ de E au moins, la somme $\sum_i \|T.e_i\|$ soit finie (avec les notations de a), remarquer que $|\langle e_i|R.e_i \rangle| \leq \|T.e_i\|$. g) Dans l’espace $\ell^2_{\mathbf{C}}$, soit $(e_n)$ la base orthonormale canonique, et soit $a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} e_n$; si F est le sous-espace $\mathbf{C}.a$ de dimension 1, l’orthoprojecteur $p_F$ est de trace finie, mais la série $\sum \|p_F.e_n\|$ n’est pas convergente.