Bài tập 14, § 4

Cho E là một không gian Hilbert phức, T là một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt của E. (a) Cho R và L là các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt dương sao cho $R^2 = T^*T$ và $L^2 = TT^*$ (V, p. 56, hệ quả 3); đặt $R = \operatorname{abs}(T)$, và nói rằng nó là “giá trị tuyệt đối” của T (xem V, p. 74, bài tập 4); ta có $L = \operatorname{abs}(T^*)$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{Ker}(R)$ và $L(E) = \overline{T(E)}$. Tồn tại duy nhất một phép đẳng cự V từ $R(E)$ lên $T(E)$ sao cho $T = VR$; nếu V được mở rộng bởi tính liên tục tới $\overline{R(E)}$, rồi tới một toán tử $U \in \mathscr{L}(E)$ bằng cách lấy $U.x = 0$ trên phần bù trực giao của $R(E)$, thì cũng có $T = UR$ (phân tích cực của T). Ta có $R = U^*T = U^*UR = RU^*U$ và $L = URU^*, \ T = LU^*$. Nếu T thuộc $\mathscr{L}^1(E)$, thì điều tương tự cũng đúng với $R = \operatorname{abs}(T)$, và T là tích của hai tự đồng cấu Hilbert-Schmidt. (b) Nếu T thuộc $\mathscr{L}^1(E)$, bây giờ chứng minh rằng ta có $\operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T)) = \sup_i (\sum | \langle a_i|T.b_i \rangle |)$, trong đó ở vế phải $(a_i)$ và $(b_i)$ chạy qua tập hợp các cơ sở trực chuẩn của E (sử dụng phân tích cực của T). Chứng minh rằng nếu đặt $\|T\|_1 = \operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T))$, thì $\|T\|_1$ là một chuẩn trên không gian $\mathscr{L}^1(E)$, sao cho $\|T\|_2 \leq \|T\|_1$. (c) Ngược lại, nếu $T \in \mathscr{L}(E)$ sao cho, với mọi cặp $((a_i), (b_i))$ các cơ sở trực chuẩn của E, tổng $\sum_i |\langle a_i|T.b_i \rangle|$ là hữu hạn, thì T thuộc $\mathscr{L}^1(E)$ (trước hết nhận xét rằng T là một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt, và sử dụng phân tích cực của T). (d) Cho $(T_v)$ là một dãy các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt (tương ứng, các phần tử của $\mathscr{L}^1(E)$) sao cho, với mọi cặp điểm x, y của E, dãy $(\langle x|T_v.y \rangle)$ hội tụ về $\langle x|T.y \rangle$, trong đó T là một ánh xạ tuyến tính của E vào chính nó; giả sử thêm rằng dãy các chuẩn $\|T_v\|_2$ (tương ứng $\|T_v\|_1$) bị chặn. Chứng minh rằng T là một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt (tương ứng một phần tử của $\mathscr{L}^1(E)$) (sử dụng b) và c)). (e) Suy ra từ d) rằng không gian $\mathscr{L}^1(E)$ là một không gian Banach đối với chuẩn $\|T\|_1$. (f) Đối với một tự đồng cấu $T \in \mathscr{L}(E)$, để thuộc $\mathscr{L}^1(E)$, điều kiện cần và đủ là tồn tại ít nhất một cơ sở trực chuẩn $(e_i)$ của E sao cho tổng $\sum_i \|T.e_i\|$ là hữu hạn (với các ký hiệu của a), nhận xét rằng $|\langle e_i|R.e_i \rangle| \leq \|T.e_i\|$. (g) Trong không gian $\ell^2_{\mathbf{C}}$, cho $(e_n)$ là cơ sở trực chuẩn chính tắc, và cho $a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} e_n$; nếu F là không gian con $\mathbf{C}.a$ có chiều 1, phép chiếu trực giao $p_F$ có vết hữu hạn, nhưng chuỗi $\sum \|p_F.e_n\|$ không hội tụ.